Chứng minh và tính tổng của biểu thức A
Giới thiệu: Bài viết này sẽ chứng minh rằng biểu thức A chia hết cho 3 và tính tổng của A. Phần đầu tiên: Chứng minh A chia hết cho 3 Để chứng minh rằng A chia hết cho 3, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp. Đầu tiên, ta xét trường hợp cơ sở khi n = 1. Khi đó, A = 2^1 = 2, và 2 chia hết cho 3. Tiếp theo, giả sử rằng A chia hết cho 3 khi n = k, tức là A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^k chia hết cho 3. Ta cần chứng minh rằng A cũng chia hết cho 3 khi n = k + 1. Khi đó, A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^k + 2^(k+1) = (2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^k) + 2^(k+1) = A + 2^(k+1). Theo giả thiết quy nạp, A chia hết cho 3, và ta cần chứng minh rằng 2^(k+1) cũng chia hết cho 3. Ta biết rằng 2^(k+1) = 2 * 2^k, và vì 2 chia hết cho 3, nên 2^(k+1) cũng chia hết cho 3. Do đó, A + 2^(k+1) chia hết cho 3, và theo nguyên lý quy nạp, A chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n. Phần thứ hai: Tính tổng của A Để tính tổng của A, ta sử dụng công thức tổng của dãy số hình học. Ta biết rằng tổng của dãy số hình học có công thức là S = a * (1 - r^n) / (1 - r), trong đó a là số hạng đầu tiên, r là công bội và n là số lượng số hạng. Áp dụng công thức này vào biểu thức A, ta có S = 2 * (1 - 2^21) / (1 - 2) = 2 * (1 - 2^21) / (-1) = -2 * (1 - 2^21) = 2^22 - 2. Tổng của A là 2^22 - 2. Kết luận: Từ những chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng biểu thức A chia hết cho 3 và tổng của A là 2^22 - 2.