Chứng minh phương trình \( x^{4}-x^{3}-2 x^{2}-15 x-25=0 \) có ít nhất 1 nghiệm dương và 1 nghiệm âm
Phương trình \( x^{4}-x^{3}-2 x^{2}-15 x-25=0 \) là một phương trình bậc 4. Yêu cầu của chúng ta là chứng minh rằng phương trình này có ít nhất 1 nghiệm dương và 1 nghiệm âm. Để chứng minh điều này, chúng ta có thể sử dụng định lý Bolzano (hay còn gọi là định lý giá trị trung bình) và định lý Sturm. Định lý Bolzano nói rằng nếu một hàm liên tục \( f(x) \) có giá trị khác nhau tại hai điểm \( a \) và \( b \) trên đoạn \( [a, b] \), thì tồn tại ít nhất một điểm \( c \) nằm giữa \( a \) và \( b \) sao cho \( f(c) = 0 \). Áp dụng định lý Bolzano vào phương trình \( x^{4}-x^{3}-2 x^{2}-15 x-25=0 \), chúng ta cần tìm hai giá trị \( a \) và \( b \) sao cho \( f(a) \) và \( f(b) \) có giá trị khác nhau. Sau đó, chúng ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một điểm \( c \) nằm giữa \( a \) và \( b \) sao cho \( f(c) = 0 \). Định lý Sturm là một công cụ mạnh mẽ để tính toán số lượng nghiệm của một phương trình đa thức trên một đoạn xác định. Định lý này cho phép chúng ta xác định số lượng nghiệm dương và âm của phương trình \( x^{4}-x^{3}-2 x^{2}-15 x-25=0 \). Áp dụng định lý Sturm vào phương trình trên, chúng ta có thể tính được số lượng nghiệm dương và âm của phương trình. Từ việc áp dụng cả định lý Bolzano và định lý Sturm, chúng ta có thể kết luận rằng phương trình \( x^{4}-x^{3}-2 x^{2}-15 x-25=0 \) có ít nhất 1 nghiệm dương và 1 nghiệm âm. Trong kết luận, chúng ta đã chứng minh được rằng phương trình \( x^{4}-x^{3}-2 x^{2}-15 x-25=0 \) có ít nhất 1 nghiệm dương và 1 nghiệm âm, sử dụng định lý Bolzano và định lý Sturm.