Giải phương trình tích phân ba lớp

4
(317 votes)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ giải phương trình tích phân ba lớp được cho trong yêu cầu. Phương trình này có dạng: \[ \iiint(x+7z) dxdydz \] với miền tích phân \(\Omega\) được xác định bởi hệ phương trình: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ z = 2 - x^2 - y^2 \\ z = 0 \end{cases} \] Để giải phương trình tích phân này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định miền tích phân \(\Omega\) Đầu tiên, chúng ta cần xác định miền tích phân \(\Omega\) bằng cách giải hệ phương trình đã cho. Từ phương trình \(z = 2 - x^2 - y^2\), ta có thể thấy rằng miền tích phân \(\Omega\) là một hình tròn trên mặt phẳng \(xy\) với bán kính 1 và nằm trong mặt phẳng \(z = 0\). Vì vậy, miền tích phân \(\Omega\) có thể được biểu diễn như sau: \[ \Omega: x^2 + y^2 \leq 1, z = 0 \] Bước 2: Tính tích phân ba lớp Tiếp theo, chúng ta sẽ tính tích phân ba lớp \(\iiint(x+7z) dxdydz\) trên miền tích phân \(\Omega\). Đầu tiên, chúng ta sẽ tính tích phân theo trục \(x\). Với \(y\) và \(z\) được giữ cố định, ta có: \[ \int_{-1}^{1} (x+7z) dx \] Tích phân này dễ dàng tính được và kết quả là: \[ \left[ \frac{1}{2}x^2 + 7zx \right]_{-1}^{1} = 2 + 14z \] Tiếp theo, chúng ta sẽ tính tích phân theo trục \(y\). Với \(x\) và \(z\) được giữ cố định, ta có: \[ \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} (2 + 14z) dy \] Tích phân này cũng dễ dàng tính được và kết quả là: \[ \left[ 2y + 14zy \right]_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} = 4\sqrt{1-x^2} + 28z\sqrt{1-x^2} \] Cuối cùng, chúng ta sẽ tính tích phân theo trục \(z\). Với \(x\) và \(y\) được giữ cố định, ta có: \[ \int_{0}^{2-x^2-y^2} (4\sqrt{1-x^2} + 28z\sqrt{1-x^2}) dz \] Tích phân này cũng dễ dàng tính được và kết quả là: \[ \left[ 4z\sqrt{1-x^2} + 14z^2\sqrt{1-x^2} \right]_{0}^{2-x^2-y^2} = 4(2-x^2-y^2)\sqrt{1-x^2} + 14(2-x^2-y^2)^2\sqrt{1-x^2} \] Bước 3: Kết quả cuối cùng Kết quả cuối cùng của phương trình tích phân ba lớp là: \[ \iiint(x+7z) dxdydz = 4(2-x^2-y^2)\sqrt{1-x^2} + 14