Phân tích hàm số và xác định khoảng đồng biến
Hàm số $y=x^{3}-3x^{2}-9x+7$ có đạo hàm $y'=3x^{2}-6x-9$. Đặt $y'=0$, ta được $x^{2}-2x-3=0$, giải phương trình ta được $x=3$ và $x=-1$. Vậy, hàm số có cực trị tại $x=3$ và $x=-1$. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số, ta cần xét dấu của đạo hàm $y'$ trên các khoảng xác định bởi các nghiệm của phương trình $y'=0$. Xét bảng xét dấu đạo hàm: | $x$ | $(-\infty,-1)$ | $(-1,3)$ | $(3,+\infty )$ --- | --- | --- | --- | | $y'$ | - | - | + | | $y$ | ↗ | ↘ | ↗ | Từ bảng xét dấu đạo hàm, ta thấy rằng hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty,-1)$ và $(3,+\infty )$. Vậy, đáp án cho câu 1 là A. $(1;+\infty )$. Câu 2: Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, ta thấy rằng hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;0)$ và nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(0;2)$. Vậy, đáp án cho câu 2 là B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;0)$. Câu 3: Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=x^{2}(x^{2}-4)(x^{2}+3x+2)(x+3)$. Đặt $f'(x)=0$, ta được các nghiệm $x=0$, $x=\pm 2$, $x=-1$, $x=-3$. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số, ta cần xét dấu của đạo hàm $f'(x)$ trên các khoảng xác định bởi các nghiệm của phương trình $f'(x)=0$. Xét bảng xét dấu đạo hàm: | $x$ | $(-\infty,-3)$ | $(-3,-1)$ | $(-1,0)$ | $(0,2)$ | $(2,+\infty )$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $f'$ | + | - | + | - | + | | $f$ | ↗ | ↘ | ↗ | ↘ | ↗ | Từ bảng xét dấu đạo hàm, ta thấy rằng hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty,-3)$ và $(0,2)$ và nghịch biến trên khoảng $(-3,-1)$ và $(2,+\infty )$. Vậy, đáp án cho câu 3 là A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty,-3)$ và $(0,2)$. Tóm lại, câu 1: A. $(1;fty )$, câu 2: B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;0)$, câu 3: A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty,-3)$ và $(0,2)$.