Tính tổng và chia hết của các dãy số
Giới thiệu: Bài viết này sẽ giải quyết hai bài toán liên quan đến tính tổng và chia hết của các dãy số. Chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính tổng của hai dãy số đã cho và kiểm tra xem chúng có chia hết cho các số tương ứng hay không. Phần đầu tiên: Tính tổng của dãy số \(1+3+3^{2}+3^{3}+\ldots+3^{11}\) và kiểm tra xem nó có chia hết cho 13 hay không. Để tính tổng của dãy số này, chúng ta có thể sử dụng công thức tổng của một dãy số hình thành bởi cơ số và lũy thừa. Công thức này là \(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}\), trong đó \(S_n\) là tổng của dãy số, \(a\) là cơ số, \(r\) là lũy thừa và \(n\) là số phần tử trong dãy. Áp dụng công thức này vào dãy số \(1+3+3^{2}+3^{3}+\ldots+3^{11}\), ta có \(a = 1\), \(r = 3\) và \(n = 11\). Thay vào công thức, ta có \(S_n = \frac{1(3^{11} - 1)}{3 - 1}\). Tính toán, ta được tổng của dãy số này là 88572. Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm tra xem tổng này có chia hết cho 13 hay không. Để kiểm tra tính chia hết, chúng ta sử dụng phép chia lấy dư. Ta chia tổng 88572 cho 13 và kiểm tra xem dư của phép chia có bằng 0 hay không. Sau khi tính toán, ta thấy rằng tổng này không chia hết cho 13, vì dư của phép chia là 6. Phần thứ hai: Tính tổng của dãy số \(4^{19}+4^{50}+4^{51}+\ldots+4^{100}+4^{101}\) và kiểm tra xem nó có chia hết cho 28 hay không. Tương tự như phần trước, chúng ta sẽ sử dụng công thức tổng của một dãy số hình thành bởi cơ số và lũy thừa để tính tổng của dãy số này. Công thức này là \(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}\), trong đó \(S_n\) là tổng của dãy số, \(a\) là cơ số, \(r\) là lũy thừa và \(n\) là số phần tử trong dãy. Áp dụng công thức này vào dãy số \(4^{19}+4^{50}+4^{51}+\ldots+4^{100}+4^{101}\), ta có \(a = 4\), \(r = 4\) và \(n = 101 - 19 + 1 = 83\). Thay vào công thức, ta có \(S_n = \frac{4(4^{83} - 1)}{4 - 1}\). Tính toán, ta được tổng của dãy số này là 1.340.780.792.686.155.776. Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm tra xem tổng này có chia hết cho 28 hay không. Để kiểm tra tính chia hết, chúng ta sử dụng phép chia lấy dư. Ta chia tổng 1.340.780.792.686.155.776 cho 28 và kiểm