Tính giới hạn của một hàm trong đại số
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về cách tính giới hạn của một hàm trong đại số. Chúng ta sẽ tập trung vào bài toán tính giới hạn của hàm \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 \sqrt{x+3}+x-5}{x-x^{2}} \). Để tính giới hạn này, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp đại số và tính toán. Đầu tiên, chúng ta có thể thấy rằng hàm số trong giới hạn có dạng không xác định \(\frac{0}{0}\). Điều này có nghĩa là chúng ta không thể tính giá trị của hàm tại điểm \(x = 1\) trực tiếp. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp chia tỷ số. Bằng cách chia tỷ số của các đa thức trên và dưới cho \(x - 1\), chúng ta có thể đơn giản hóa biểu thức và tính giới hạn một cách dễ dàng hơn. Áp dụng phương pháp chia tỷ số, chúng ta có: \[ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 \sqrt{x+3}+x-5}{x-x^{2}} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 \sqrt{x+3}+x-5)(x-1)}{(x-x^{2})(x-1)} \] Tiếp theo, chúng ta có thể đơn giản hóa biểu thức bằng cách rút gọn các đa thức và loại bỏ các yếu tố chung: \[ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 \sqrt{x+3}+x-5)(x-1)}{(x-x^{2})(x-1)} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 \sqrt{x+3}+x-5}{x-x^{2}} \] Sau khi rút gọn biểu thức, chúng ta có thể thấy rằng giới hạn của hàm không còn dạng không xác định \(\frac{0}{0}\) nữa. Bây giờ, chúng ta có thể tính giá trị của hàm tại điểm \(x = 1\) bằng cách thay \(x\) bằng \(1\) vào biểu thức: \[ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 \sqrt{x+3}+x-5}{x-x^{2}} = \frac{2 \sqrt{1+3}+1-5}{1-1^{2}} = \frac{2 \sqrt{4} - 4}{0} \] Tuy nhiên, chúng ta không thể chia cho \(0\), vì vậy giới hạn này không tồn tại. Tóm lại, giới hạn của hàm \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 \sqrt{x+3}+x-5}{x-x^{2}} \) không tồn tại.