Tính giá trị của \(2a+b\) trong hàm số \(f(x)\)
Trong bài toán này, chúng ta được cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f'(x) = ax^2 + \frac{b}{x^3}\), \(f'(1) = 3\), \(f(1) = 2\) và \(f\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{12}\). Yêu cầu của chúng ta là tính giá trị của \(2a+b\). Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho để tìm ra giá trị của \(a\) và \(b\), sau đó tính giá trị của \(2a+b\). Đầu tiên, chúng ta sẽ tính \(f'(x)\) bằng cách tích phân \(f(x)\). Với hàm số \(f(x)\) đã cho, ta có: \[f'(x) = ax^2 + \frac{b}{x^3}\] Để tích phân \(f'(x)\), ta sẽ tích phân từ \(1\) đến \(x\): \[\int_1^x f'(t) dt = \int_1^x (at^2 + \frac{b}{t^3}) dt\] Áp dụng tích phân Newton-Leibniz, ta có: \[f(x) - f(1) = \int_1^x (at^2 + \frac{b}{t^3}) dt\] Với \(f(1) = 2\), ta có: \[f(x) - 2 = \int_1^x (at^2 + \frac{b}{t^3}) dt\] Để tìm giá trị của \(a\) và \(b\), ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho. Đầu tiên, ta sẽ tính \(f'(1)\): \[f'(1) = a(1)^2 + \frac{b}{(1)^3} = a + b\] Với \(f'(1) = 3\), ta có: \[a + b = 3\] Tiếp theo, ta sẽ tính \(f\left(\frac{1}{2}\right)\): \[f\left(\frac{1}{2}\right) = 2 + \int_1^{\frac{1}{2}} (at^2 + \frac{b}{t^3}) dt\] Với \(f\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{12}\), ta có: \[-\frac{1}{12} = 2 + \int_1^{\frac{1}{2}} (at^2 + \frac{b}{t^3}) dt\] Tiếp theo, ta sẽ tính tích phân: \[\int_1^{\frac{1}{2}} (at^2 + \frac{b}{t^3}) dt = -\frac{25}{12}\] Từ đó, ta có: \[2 + \left[-\frac{25}{12}\right] = -\frac{1}{12}\] \[2 - \frac{25}{12} = -\frac{1}{12}\] \[24 - 25 = -1\] \[a + b = -1\] Từ hai phương trình trên, ta có hệ phương trình: \[\begin{cases} a + b = 3 \\ a + b = -1 \end{cases}\] Điều này là không thể xảy ra, vì hai phương trình trên không có cùng một nghiệm. Vì vậy, không có giá trị cụ thể cho \(2a+b\) trong hàm số \(f(x)\). Vậy, đáp án là không có giá trị cụ thể cho \(2a+b\) trong hàm số \(f(x)\).