Phân tích giới hạn của biểu thức \(I=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(e^{x}+3 x\right)^{\frac{1}{x}}\)
Trong bài viết này, chúng ta sẽ phân tích giới hạn của biểu thức \(I=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(e^{x}+3 x\right)^{\frac{1}{x}}\). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp tính giới hạn và các quy tắc liên quan. Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét phần mũ của biểu thức. Với mọi giá trị dương của \(x\), ta có \(e^{x} > 0\) và \(3x > 0\). Do đó, \(e^{x}+3x > 0\) và biểu thức trong ngoặc đơn luôn dương. Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét phần số mũ của biểu thức. Khi \(x\) tiến đến 0 từ phía dương, ta có \(e^{x} \rightarrow 1\) và \(3x \rightarrow 0\). Do đó, \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(e^{x}+3 x\right) = 1\). Cuối cùng, chúng ta sẽ tính giới hạn của biểu thức. Với \(I=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(e^{x}+3 x\right)^{\frac{1}{x}}\), ta có \(\ln(I) = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(e^{x}+3 x)}{x}\). Sử dụng quy tắc L'Hôpital, ta có: \(\ln(I) = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{d}{dx}(e^{x}+3 x)}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{x}+3}{1} = 4\). Vậy, \(I = e^{4}\). Tóm lại, giới hạn của biểu thức \(I=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(e^{x}+3 x\right)^{\frac{1}{x}}\) là \(e^{4}\).