Chứng minh và tìm cơ sở của không gian vectơ con trong \( \mathbb{R}^{3} \)
Trong không gian vectơ thực \( \mathbb{R}^{3} \), chúng ta được cho một không gian vectơ con \( W \) được định nghĩa như sau: \[ W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid(6-a) x_{1}+(b-3) x_{2}-x_{3}=0\right\} \] Yêu cầu của chúng ta là chứng minh rằng \( W \) là một không gian vectơ con của \( \mathbb{R}^{3} \) và tìm một cơ sở và xác định số chiều của \( W \). Để chứng minh rằng \( W \) là một không gian vectơ con, chúng ta cần chứng minh rằng \( W \) là một tập con của \( \mathbb{R}^{3} \) và thỏa mãn các điều kiện của một không gian vectơ con. Đầu tiên, chúng ta xác định rằng \( W \) là một tập con của \( \mathbb{R}^{3} \) bằng cách xác định tất cả các vector \( \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \) trong \( \mathbb{R}^{3} \) mà thỏa mãn phương trình \( (6-a) x_{1}+(b-3) x_{2}-x_{3}=0 \). Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng \( W \) thỏa mãn các điều kiện của một không gian vectơ con, bao gồm việc đóng với phép cộng vector và nhân với một số thực. Sau khi chứng minh rằng \( W \) là một không gian vectơ con, chúng ta tiếp tục tìm một cơ sở và xác định số chiều của \( W \). Để làm điều này, chúng ta cần tìm các vector độc lập tuyến tính trong \( W \) và xác định số lượng của chúng. Một cách tiếp cận phổ biến để làm điều này là sử dụng phương pháp Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tương ứng với \( W \). Khi giải hệ phương trình, chúng ta sẽ thu được các vector độc lập tuyến tính trong \( W \) và từ đó xác định số chiều của \( W \). Trong kết luận, chúng ta đã chứng minh rằng \( W \) là một không gian vectơ con của \( \mathbb{R}^{3} \) và tìm được một cơ sở và xác định số chiều của \( W \). Qua quá trình này, chúng ta đã áp dụng các phương pháp và công cụ toán học để giải quyết vấn đề và đưa ra kết quả chính xác.