Phân tích và giải quyết phương trình \( y = \frac{4x + 4}{-x + 3} \) ##

4
(290 votes)

Phương trình \( y = \frac{4x + 4}{-x + 3} \) là một phương trình phân thức, nơi \( y \) là biến phụ thuộc và \( x \) là biến độc lập. Để hiểu rõ hơn về phương trình này, chúng ta sẽ phân tích và giải quyết nó theo các bước sau: ### 1. Xác định miền xác định của phương trình Phương trình phân thức \( y = \frac{4x + 4}{-x + 3} \) có mẫu số là \(-x + 3\). Để phương trình có nghĩa, mẫu số phải khác 0. Do đó, ta có: \[ -x + 3 <br/ >eq 0 \] \[ x <br/ >eq 3 \] Vậy, miền xác định của phương trình là tập hợp tất cả các giá trị của \( x \) trừ \( x = 3 \). ### 2. Tìm giá trị của \( y \) khi \( x \) tiến tới 3 Khi \( x \) tiến tới 3, mẫu số \(-x + 3\) tiến tới 0. Điều này làm cho giá trị của \( y \) trở nên không xác định. Tuy nhiên, ta có thể xem xét giới hạn của \( y \) khi \( x \) tiến tới 3 từ hai phía. \[ \lim_{{x \to 3^-}} y = \lim_{{x \to 3^-}} \frac{4x + 4}{-x + 3} \] \[ \lim_{{x \to 3^+}} y = \lim_{{x \to 3^+}} \frac{4x + 4}{-x + 3} \] ### 3. Tính toán giới hạn Để tính toán giới hạn, ta có thể thay \( x \) bằng giá trị gần 3 từ hai phía và tính toán giá trị của \( y \). #### Khi \( x \) tiến tới 3 từ phía trái (\( x < 3 \)): \[ \lim_{{x \to 3^-}} y = \lim_{{x \to 3^-}} \frac{4x + 4}{-x + 3} \] Thay \( x = 3 - \epsilon \) (với \(\epsilon\) là một số nhỏ dương): \[ \lim_{{\epsilon \to 0}} \frac{4(3 - \epsilon) + 4}{-(3 - \epsilon) + 3} = \lim_{{\epsilon \to 0}} \frac{12 - 4\epsilon + 4}{-3 + \epsilon + 3} = \lim_{{\epsilon \to 0}} \frac{16 - 4\epsilon}{\epsilon} = \lim_{{\epsilon \to 0}} \frac{16}{\epsilon} - 4 \] Do \(\frac{16}{\epsilon}\) tiến tới vô cùng khi \(\epsilon\) tiến tới 0, giới hạn này không xác định. #### Khi \( x \) tiến tới 3 từ phía phải (\( x > 3 \)): \[ \lim_{{x \to 3^+}} y = \lim_{{x \to 3^+}} \frac{4x + 4}{-x + 3} \] Thay \( x = 3 + \epsilon \) (với \(\epsilon\) là một số nhỏ dương): \[ \lim_{{\epsilon \to 0}} \frac{4(3 + \epsilon) + 4}{-(3 + \epsilon) + 3} = \lim_{{\epsilon \to 0}} \frac{12 + 4\epsilon + 4}{-3 - \epsilon + 3} = \lim_{{\epsilon \to 0}} \frac{16 + 4\epsilon}{-\epsilon} = \lim_{{\epsilon \to 0}} \frac{16}{-\epsilon} + 4 \] Do \(\frac{16}{-\epsilon}\) tiến tới vô cùng khi \(\epsilon\) tiến tới 0, giới hạn này không xác định. ### 4. Kết luận Từ các bước trên, ta thấy rằng khi \( x \) tiến tới 3, giá trị của \( y \) trở nên không xác định. Điều này cho thấy đường cong của phương trình có một đường thẳng đứng tại \( x = 3 \), làm cho đồ thị của phương trình không liên tục tại điểm này. ### 5. Biểu đạt cảm xúc và nhĩnights