Tìm diện tích đa giác của hệ bất phương trình
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về miền nghiệm của hệ bất phương trình \( \left\{\begin{array}{l}3 x+y \leq 6 \\ x+y \leq 4 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0\end{array}\right. \) và tính diện tích của đa giác tạo bởi miền nghiệm này. Đầu tiên, chúng ta cần hiểu rõ về miền nghiệm của hệ bất phương trình này. Miền nghiệm là tập hợp các giá trị của \( x \) và \( y \) mà thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ. Trong trường hợp này, chúng ta có bốn bất phương trình: 1. \( 3x + y \leq 6 \) 2. \( x + y \leq 4 \) 3. \( x \geq 0 \) 4. \( y \geq 0 \) Để tìm miền nghiệm, chúng ta có thể vẽ đồ thị của từng bất phương trình và xác định vùng chung của chúng. Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng ta có thể giải hệ bất phương trình bằng phương pháp đơn giản. Đầu tiên, ta giải bất phương trình thứ nhất: \( 3x + y \leq 6 \). Để đơn giản hóa, ta có thể chuyển bất phương trình này thành \( y \leq -3x + 6 \). Đây là một đường thẳng có độ dốc âm và đi qua điểm (0, 6). Vùng nằm dưới đường thẳng này là miền nghiệm của bất phương trình thứ nhất. Tiếp theo, ta giải bất phương trình thứ hai: \( x + y \leq 4 \). Tương tự, ta có thể chuyển bất phương trình này thành \( y \leq -x + 4 \). Đây cũng là một đường thẳng có độ dốc âm và đi qua điểm (0, 4). Vùng nằm dưới đường thẳng này là miền nghiệm của bất phương trình thứ hai. Cuối cùng, ta cần xác định vùng nằm trong các ràng buộc \( x \geq 0 \) và \( y \geq 0 \). Điều này đơn giản, vì vùng này là nửa mặt phẳng thứ nhất (phần không âm) của trục x và trục y. Kết hợp tất cả các miền nghiệm của các bất phương trình trên, chúng ta có thể xác định được miền nghiệm của hệ bất phương trình ban đầu. Đây là một đa giác có các đỉnh tại (0, 0), (0, 4), và (2, 0). Cuối cùng, chúng ta cần tính diện tích của đa giác này. Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng công thức diện tích của đa giác đơn giản nhất, tức là diện tích bằng nửa tích số các cạnh chéo của đa giác. Trong trường hợp này, chúng ta có thể tính diện tích bằng \( \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4 \). Vậy, diện tích của đa giác tạo bởi miền nghiệm của hệ bất phương trình \( \left\{\begin{array}{l}3 x+y \leq 6 \\ x+y \leq 4 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0\end{array}\right. \) là 4. Tóm lại, trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về miền nghiệm của hệ bất phương trình và tính diện tích của đa giác tạo bởi miền nghiệm này. Việc này giúp chúng ta áp dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết các bài toán thực tế.