Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số và giải phương trình logarit
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{x+1}{2x-1}\) trên đoạn \([-2;0]\) và giải phương trình \(\log_{2}^{2}x-3\log_{2}x+2=0\). Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{x+1}{2x-1}\) trên đoạn \([-2;0]\). Để làm điều này, chúng ta cần tìm điểm cực trị của hàm số trên đoạn này. Để tìm điểm cực trị, chúng ta sẽ lấy đạo hàm của hàm số và giải phương trình đạo hàm bằng 0. Đạo hàm của hàm số \(y=\frac{x+1}{2x-1}\) là \(y'=\frac{3}{(2x-1)^2}\). Để giải phương trình \(y'=0\), ta cần giải phương trình \(\frac{3}{(2x-1)^2}=0\). Tuy nhiên, phương trình này không có nghiệm vì không thể chia cho 0. Vì vậy, hàm số \(y=\frac{x+1}{2x-1}\) không có điểm cực trị trên đoạn \([-2;0]\). Điều này có nghĩa là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sẽ nằm ở hai đầu đoạn này. Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, chúng ta sẽ thay thế giá trị của \(x\) bằng -2 và 0 vào hàm số. Khi \(x=-2\), ta có \(y=\frac{-2+1}{2(-2)-1}=\frac{-1}{-5}=\frac{1}{5}\). Khi \(x=0\), ta có \(y=\frac{0+1}{2(0)-1}=\frac{1}{-1}=-1\). Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là \(\frac{1}{5}\) và giá trị nhỏ nhất là -1. Tiếp theo, chúng ta sẽ giải phương trình \(\log_{2}^{2}x-3\log_{2}x+2=0\) để tìm hai nghiệm \(x_{1}\) và \(x_{2}\). Để giải phương trình này, chúng ta có thể sử dụng một phương pháp thay đổi biến. Gọi \(t=\log_{2}x\), ta có \(t^{2}-3t+2=0\). Phương trình này có hai nghiệm \(t_{1}=1\) và \(t_{2}=2\). Thay \(t\) bằng \(\log_{2}x\) trong các nghiệm \(t_{1}\) và \(t_{2}\), ta có \(\log_{2}x_{1}=1\) và \(\log_{2}x_{2}=2\). Từ đó, ta có \(x_{1}=2\) và \(x_{2}=4\). Cuối cùng, chúng ta sẽ tính giá trị của \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\). Thay giá trị của \(x_{1}\) và \(x_{2}\) vào biểu thức, ta có \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2^{2}+4^{2}=4+16=20\). Vậy, giá trị của \(x_{1}^{2}+x