Phân tích và chứng minh 7 hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 7

(182 votes)

## 7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Lớp 7: Phân Tích và Chứng Minh Trong chương trình toán học lớp 7, 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đóng vai trò quan trọng, giúp học sinh giải quyết các bài toán về biến đổi biểu thức đại số một cách nhanh chóng và hiệu quả. Bài viết này sẽ phân tích và chứng minh từng hằng đẳng thức, giúp bạn hiểu rõ bản chất và ứng dụng của chúng trong thực tế. #### Hằng Đẳng Thức Số 1: Bình Phương của một Tổng Hằng đẳng thức này được phát biểu như sau: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Để chứng minh, ta sử dụng phép nhân đa thức: $(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Hằng đẳng thức này cho phép ta khai triển bình phương của một tổng thành một biểu thức gồm ba hạng tử: bình phương của số hạng thứ nhất, hai lần tích của hai số hạng, và bình phương của số hạng thứ hai. #### Hằng Đẳng Thức Số 2: Bình Phương của một Hiệu Hằng đẳng thức này có dạng: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Chứng minh tương tự như hằng đẳng thức số 1, ta có: $(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a(a - b) - b(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Hằng đẳng thức này giúp ta khai triển bình phương của một hiệu thành một biểu thức gồm ba hạng tử: bình phương của số hạng thứ nhất, trừ hai lần tích của hai số hạng, cộng bình phương của số hạng thứ hai. #### Hằng Đẳng Thức Số 3: Hiệu Hai Bình Phương Hằng đẳng thức này được viết như sau: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$. Chứng minh: $(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$. Hằng đẳng thức này cho phép ta phân tích hiệu hai bình phương thành tích của tổng và hiệu của hai số. #### Hằng Đẳng Thức Số 4: Lập Phương của một Tổng Hằng đẳng thức này có dạng: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Chứng minh: $(a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2 = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2) = a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2) = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Hằng đẳng thức này giúp ta khai triển lập phương của một tổng thành một biểu thức gồm bốn hạng tử: lập phương của số hạng thứ nhất, ba lần tích của bình phương số hạng thứ nhất với số hạng thứ hai, ba lần tích của số hạng thứ nhất với bình phương số hạng thứ hai, và lập phương của số hạng thứ hai. #### Hằng Đẳng Thức Số 5: Lập Phương của một Hiệu Hằng đẳng thức này được viết như sau: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. Chứng minh tương tự như hằng đẳng thức số 4, ta có: $(a - b)^3 = (a - b)(a - b)^2 = (a - b)(a^2 - 2ab + b^2) = a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) = a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. Hằng đẳng thức này giúp ta khai triển lập phương của một hiệu thành một biểu thức gồm bốn hạng tử: lập phương của số hạng thứ nhất, trừ ba lần tích của bình phương số hạng thứ nhất với số hạng thứ hai, cộng ba lần tích của số hạng thứ nhất với bình phương số hạng thứ hai, trừ lập phương của số hạng thứ hai. #### Hằng Đẳng Thức Số 6: Tổng Hai Lập Phương Hằng đẳng thức này có dạng: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Chứng minh: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3$. Hằng đẳng thức này cho phép ta phân tích tổng hai lập phương thành tích của tổng hai số với một tam thức bậc hai. #### Hằng Đẳng Thức Số 7: Hiệu Hai Lập Phương Hằng đẳng thức này được viết như sau: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Chứng minh: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a(a^2 + ab + b^2) - b(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3$. Hằng đẳng thức này cho phép ta phân tích hiệu hai lập phương thành tích của hiệu hai số với một tam thức bậc hai. ## Ứng Dụng của 7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ 7 hằng đẳng thức đáng nhớ được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực toán học, vật lý, hóa học và kỹ thuật. Chúng giúp ta giải quyết các bài toán về biến đổi biểu thức đại số, rút gọn biểu thức, giải phương trình, bất phương trình, và nhiều vấn đề khác. Ví dụ, trong giải phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng hằng đẳng thức số 3 để phân tích biểu thức thành tích của hai nhân tử, từ đó tìm nghiệm của phương trình. Trong vật lý, hằng đẳng thức số 1 và số 2 được sử dụng để tính toán động năng và thế năng của vật. ## Kết Luận 7 hằng đẳng thức đáng nhớ là những công cụ hữu ích giúp học sinh giải quyết các bài toán về biến đổi biểu thức đại số một cách nhanh chóng và hiệu quả. Việc hiểu rõ bản chất và ứng dụng của chúng sẽ giúp bạn nâng cao kỹ năng giải toán và đạt được kết quả học tập tốt hơn.