Giải phương trình và tính giá trị của các biểu thức

(290 votes)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ giải phương trình \(x^{2}-5x+4=0\) và tính giá trị của các biểu thức sau đây: a) \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\) b) \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\) c) \(x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}\) d) \(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\) e) \(\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}\) Đầu tiên, chúng ta sẽ giải phương trình \(x^{2}-5x+4=0\). Để giải phương trình này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp khai căn hoặc phương pháp nhân tử. Tuy nhiên, trong bài viết này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhân tử. Phương pháp nhân tử là một phương pháp giải phương trình bậc hai bằng cách tìm hai số \(x_{1}\) và \(x_{2}\) sao cho \(x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\) và \(x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\), trong đó \(a\), \(b\) và \(c\) là các hệ số của phương trình. Áp dụng phương pháp nhân tử vào phương trình \(x^{2}-5x+4=0\), ta có: \(x_{1}+x_{2}=-(-5)=5\) \(x_{1}x_{2}=\frac{4}{1}=4\) Tiếp theo, chúng ta sẽ tính giá trị của các biểu thức đã cho. a) \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\): Để tính giá trị của biểu thức này, ta cần biết giá trị của \(x_{1}\) và \(x_{2}\). Từ phương pháp nhân tử, ta đã tìm được \(x_{1}=1\) và \(x_{2}=4\). Thay vào biểu thức, ta có: \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1^{2}+4^{2}=1+16=17\) b) \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\): Tương tự như trên, ta cần biết giá trị của \(x_{1}\) và \(x_{2}\). Thay vào biểu thức, ta có: \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=1^{3}+4^{3}=1+64=65\) c) \(x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}\): Thay vào giá trị của \(x_{1}\) và \(x_{2}\), ta có: \(x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}=1^{2}\cdot4+4^{2}\cdot1=4+16=20\) d) \(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\): Thay vào giá trị của \(x_{1}\) và \(x_{2}\), ta có: \(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{1}{1}+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\) e) \(\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}\): Thay vào giá trị của \(x_{1}\) và \(x_{2}\), ta có: \(\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{1}{4}+\