Chứng minh các tính chất của nửa đường tròn và các tiếp tuyến
Trong bài toán này, chúng ta sẽ chứng minh các tính chất của nửa đường tròn và các tiếp tuyến. Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh rằng góc COD bằng 90 độ. (a) Chứng minh góc COD bằng 90 độ: Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến tại M với nửa đường tròn. Ta có thể thấy rằng tam giác AEM và tam giác BEM là tam giác vuông, vì AM và BM là tiếp tuyến của nửa đường tròn. Do đó, góc AEM và góc BEM bằng 90 độ. Vì AEM và BEM là hai góc đối nhau, nên chúng bằng nhau. Từ đó, ta có thể suy ra rằng góc AEB bằng 180 độ. Do đó, góc COD là góc nội tiếp của nửa đường tròn và bằng một nửa góc AEB. Vì góc AEB bằng 180 độ, nên góc COD bằng 90 độ. (b) Chứng minh B, D, M, O cùng thuộc một đường tròn: Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến tại B với nửa đường tròn. Ta có thể thấy rằng tam giác BFM và tam giác BDM là tam giác vuông, vì BM và BD là tiếp tuyến của nửa đường tròn. Do đó, góc BFM và góc BDM bằng 90 độ. Vì BFM và BDM là hai góc đối nhau, nên chúng bằng nhau. Từ đó, ta có thể suy ra rằng góc BFO bằng 180 độ. Do đó, B, D, M, O cùng thuộc một đường tròn. (c) Chứng minh CD = AC + BD: Gọi G là giao điểm của tiếp tuyến tại C với nửa đường tròn. Ta có thể thấy rằng tam giác CDM và tam giác CAG là tam giác vuông, vì CM và CA là tiếp tuyến của nửa đường tròn. Do đó, góc CDM và góc CAG bằng 90 độ. Từ đó, ta có thể suy ra rằng góc CDG bằng 180 độ. Do đó, CD = CG + GD = AC + BD. (d) Chứng minh tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn: Ta có thể thấy rằng tam giác AEM và tam giác BEM là hai tam giác đồng dạng, vì chúng có cùng hai góc vuông và góc AEM = góc BEM. Từ đó, ta có thể suy ra rằng tỉ lệ giữa độ dài các cạnh của tam giác AEM và tam giác BEM là bằng nhau. Do đó, ta có thể suy ra rằng tỉ lệ giữa AC và BD là bằng nhau. Từ đó, ta có thể kết luận rằng tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn. (e) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD: Gọi H là giao điểm của tiếp tuyến tại D với nửa đường tròn. Ta có thể thấy rằng tam giác CDH và tam giác CAG là tam giác vuông, vì CD và CA là tiếp tuyến của nửa đường tròn. Do đó, góc CDH và góc CAG bằng 90 độ. Từ đó, ta có thể suy ra rằng góc CHD bằng 180 độ. Do đó, AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. (f) Chứng minh MN // AC: Gọi I là giao điểm của AD và BC. Ta có thể thấy rằng tam giác AEM và tam giác BEM là hai tam giác đồng dạng, vì chúng có cùng hai góc vuông và góc AEM = góc BEM. Từ đó, ta có thể suy ra rằng tỉ lệ giữa độ dài các cạnh của tam giác AEM và tam giác BEM là bằng nhau. Do đó, ta có thể suy ra rằng tỉ lệ giữa MN và AC là bằng nhau. Từ đó, ta có thể kết luận rằng MN // AC. (g) Chứng minh 1/BO + 1/BD = √2/BN': Gọi J là giao điểm của tia phân giác BN' với OD. Ta có thể thấy rằng tam giác BJD và tam giác BOD là tam giác vuông, vì BJ và BO là tiếp tuyến của nửa đường tròn. Do đó, góc BJD và góc BOD bằng 90 độ. Từ đó, ta có thể suy ra rằng góc BJO bằng 180 độ. Do đó, ta có thể áp dụng định lý nội tiếp và suy ra rằng tỉ lệ giữa BO và BD cộng với tỉ lệ giữa BO và BN' là bằng √2. Từ đó, ta có thể kết luận rằng 1/BO + 1/BD = √2/BN'. Tóm lại, chúng ta đã chứng minh các tính chất của nửa đường tròn và các tiếp tuyến như yêu cầu của bài toán.