Tìm giới hạn của biểu thức \( \lim \frac{2^{n+1}}{3-2n} \)
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về giới hạn của biểu thức \( \lim \frac{2^{n+1}}{3-2n} \). Đây là một bài toán quan trọng trong giải tích và đại số, và nó có thể áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kỹ thuật, khoa học, và kinh tế. Để tìm giới hạn của biểu thức này, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp tính toán và định nghĩa của giới hạn. Đầu tiên, chúng ta có thể thấy rằng khi giá trị của n tiến đến vô cùng, tử số của biểu thức sẽ tăng lên vô cùng nhanh, trong khi mẫu số sẽ giảm xuống vô cùng nhanh. Do đó, chúng ta có thể suy ra rằng giới hạn của biểu thức này là vô cùng. Để chứng minh điều này, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa của giới hạn. Theo định nghĩa, giới hạn của biểu thức \( \lim \frac{2^{n+1}}{3-2n} \) bằng vô cùng nếu với mọi số M lớn hơn 0, ta có thể tìm được một số N sao cho nếu n > N, thì giá trị của biểu thức này lớn hơn M. Để chứng minh điều này, ta có thể chọn M = 1000. Khi đó, ta có: \( \frac{2^{n+1}}{3-2n} > 1000 \) \( 2^{n+1} > 1000(3-2n) \) \( 2^{n+1} > 3000 - 2000n \) \( 2^{n+1} + 2000n > 3000 \) \( 2^{n+1} + 2000n > 2^{11} \) \( 2^{n+1} + 2000n > 2048 \) Từ đây, ta có thể thấy rằng với mọi số N lớn hơn 11, ta có thể chọn n = N + 1 và biểu thức \( \frac{2^{n+1}}{3-2n} \) sẽ lớn hơn 1000. Do đó, giới hạn của biểu thức này là vô cùng. Trên đây là quá trình tìm giới hạn của biểu thức \( \lim \frac{2^{n+1}}{3-2n} \). Bài toán này có ý nghĩa quan trọng trong giải tích và đại số, và nó có thể áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.