Tính giới hạn của diện tích hình phẳng giới hạn bởi các nữa đường tròn
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về tính giới hạn của diện tích hình phẳng giới hạn bởi các nữa đường tròn. Đặt \(C\) là nữa đường tròn có đường kính \(AB\) bằng \(2R\). Chúng ta sẽ xem xét các đường \(C_1, C_2, C_3, ...\), trong đó \(C_1\) là đường gồm hai nữa đường tròn có đường kính \(\frac{AB}{2}\), \(C_2\) là đường gồm bốn nữa đường tròn có đường kính \(\frac{AB}{4}\), và \(C_n\) là đường gồm \(2^n\) nữa đường tròn có đường kính \(\frac{AB}{2^n}\). Chúng ta đặt \(S_n\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(C_n\) và đoạn thẳng \(AB\). Để tính giới hạn của \(u_n\), ta cộng tổng các diện tích \(S_1, S_2, ..., S_n\). Bây giờ, chúng ta sẽ tính giới hạn của \(u_n\). Khi \(n\) tiến tới vô cùng, các nữa đường tròn \(C_n\) sẽ tiến tới trở thành một đường tròn đầy. Vì vậy, diện tích giới hạn \(S_n\) sẽ tiến tới diện tích của đường tròn đầy, tức là \(\pi R^2\). Do đó, giới hạn của \(u_n\) khi \(n\) tiến tới vô cùng sẽ là tổng của các diện tích đường tròn đầy, tức là \(\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} (S_1 + S_2 + ... + S_n) = \lim_{n \to \infty} (\pi R^2 + \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 + \pi \left(\frac{R}{4}\right)^2 + ...)\). Từ đây, ta có thể thấy rằng giới hạn của \(u_n\) là tổng vô hạn của các số hạng trong dãy \(\pi R^2, \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2, \pi \left(\frac{R}{4}\right)^2, ...\). Đây là một dãy hình học cấp số nhân với công bội \(\frac{1}{4}\). Vì công bội này có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1, nên tổng vô hạn của dãy này hội tụ. Do đó, giới hạn của \(u_n\) khi \(n\) tiến tới vô cùng là tổng vô hạn của dãy hình học cấp số nhân, và ta có thể tính được giá trị của nó. Trên đây là phân tích về tính giới hạn của diện tích hình phẳng giới hạn bởi các nữa đường tròn. Kết quả cuối cùng sẽ phụ thuộc vào giá trị của \(R\).