Tìm giá trị của x và rút gọn biểu thức
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm giá trị của x dựa trên phương trình \(\sqrt{x-1}=\sqrt{3}\) và rút gọn biểu thức \(\left(\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-2\right)\left(\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+2\right)\). Đầu tiên, chúng ta sẽ giải phương trình \(\sqrt{x-1}=\sqrt{3}\) để tìm giá trị của x. Bằng cách bình phương cả hai vế của phương trình, ta có \(x-1=3\). Từ đó, ta suy ra \(x=4\). Vậy giá trị của x là 4. Tiếp theo, chúng ta sẽ rút gọn biểu thức \(\left(\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-2\right)\left(\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+2\right)\). Đầu tiên, ta sẽ rút gọn phần tử trong ngoặc đơn đầu tiên. Bằng cách nhân tử số và mẫu số của phân số với \(\sqrt{x}+1\), ta có \(\frac{(x-\sqrt{x})(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}-2\). Tiếp theo, ta sẽ rút gọn phần tử trong ngoặc đơn thứ hai. Bằng cách nhân tử số và mẫu số của phân số với \(\sqrt{x}-1\), ta có \(\frac{(x+\sqrt{x})(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}+2\). Kết hợp hai phần tử, ta có \(\frac{(x-\sqrt{x})(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\cdot\frac{(x+\sqrt{x})(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}-2\). Rút gọn các phân số, ta có \(\frac{(x^2-\sqrt{x^3})(x^2-1)}{x-1}-2\). Tiếp theo, ta sẽ nhân các phần tử trong ngoặc đơn. Bằng cách nhân các phần tử với nhau, ta có \((x^2-\sqrt{x^3})(x^2-1)-2(x-1)\). Tiếp theo, ta sẽ nhân các phần tử trong ngoặc đơn với nhau. Bằng cách nhân các phần tử với nhau, ta có \(x^4-x^2-x^2\sqrt{x^3}+\sqrt{x^3}-x^2+1-2x+2\). Rút gọn các phần tử tương tự, ta có \(x^4-2x^2-x^2\sqrt{x^3}+\sqrt{x^3}-2x+3\). Vậy, biểu thức đã được rút gọn là \(x^4-2x^2-x^2\sqrt{x^3}+\sqrt{x^3}-2x+3\). Tóm lại, giá trị của x là 4 và biểu thức đã được rút gọn là \(x^4-2x^2-x^2\sqrt{x^3}+\sqrt{x^3}-2x+3\).