Phân tích phép tính có dạng \( \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2021}+\sqrt{2023}} \)
Trong bài viết này, chúng ta sẽ phân tích phép tính có dạng \( \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2021}+\sqrt{2023}} \). Đây là một phép tính khá phức tạp, nhưng chúng ta có thể giải quyết nó bằng cách sử dụng một số kỹ thuật toán học. Đầu tiên, chúng ta có thể nhận thấy rằng mẫu số của mỗi phân số trong phép tính này có dạng \( \sqrt{n} + \sqrt{n+2} \), với \( n \) là một số nguyên dương. Để giải quyết phép tính này, chúng ta cần tìm một cách để loại bỏ dấu căn bậc hai trong mẫu số. Một cách thông thường để loại bỏ dấu căn bậc hai là sử dụng công thức chia đôi. Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng ta không thể áp dụng công thức chia đôi trực tiếp. Thay vào đó, chúng ta sẽ sử dụng một kỹ thuật khác gọi là "nhân đôi mẫu số". Để nhân đôi mẫu số, chúng ta sẽ nhân cả tử số và mẫu số của phân số với một biểu thức tương đương. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ nhân cả tử số và mẫu số với \( \sqrt{n} - \sqrt{n+2} \). Khi làm như vậy, chúng ta sẽ nhận được một mẫu số mới có dạng \( (\sqrt{n} + \sqrt{n+2})(\sqrt{n} - \sqrt{n+2}) \), và dấu căn bậc hai sẽ bị loại bỏ. Sau khi nhân đôi mẫu số, chúng ta sẽ có một phân số mới có dạng \( \frac{(\sqrt{n} - \sqrt{n+2})}{(\sqrt{n} + \sqrt{n+2})(\sqrt{n} - \sqrt{n+2})} \). Bằng cách rút gọn phân số này, chúng ta sẽ thu được một phân số đơn giản hơn có dạng \( \frac{1}{\sqrt{n^2} - \sqrt{(n+2)^2}} \). Tiếp theo, chúng ta có thể nhận thấy rằng \( \sqrt{n^2} \) và \( \sqrt{(n+2)^2} \) đều bằng \( n \) và \( n+2 \) tương ứng. Do đó, phân số trên có thể được rút gọn thành \( \frac{1}{n - (n+2)} \), hay \( \frac{1}{-2} \). Vậy, phép tính ban đầu có thể được rút gọn thành \( \frac{1}{-2} + \frac{1}{-2} + \ldots + \frac{1}{-2} \), với tổng cộng 1011 phân số. Khi tính tổng này, chúng ta sẽ thu được kết quả cuối cùng là \( -\frac{1011}{2} \). Tóm lại, phép tính \( \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2021}+\sqrt{2023}} \) có kết quả là \( -\frac{1011}{2} \).