Tính giá trị của phương trình tích phân \( \int_{0}^{2}|1-x| d x \)

4

(266 votes)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính giá trị của phương trình tích phân \( \int_{0}^{2}|1-x| d x \). Đây là một bài toán tích phân đơn giản nhưng lại mang tính thực tế cao, vì nó liên quan đến việc tính diện tích của một đoạn thẳng trên trục số. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ chia đoạn tích phân thành hai phần: từ 0 đến 1 và từ 1 đến 2. Đầu tiên, chúng ta sẽ tính tích phân của hàm \(|1-x|\) trên đoạn từ 0 đến 1. Trên đoạn này, hàm \(|1-x|\) có giá trị là 1-x. Vì vậy, ta có thể viết lại phương trình tích phân như sau: \( \int_{0}^{1}(1-x) d x \). Để tính giá trị của phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc tích phân cơ bản. Áp dụng quy tắc tích phân cơ bản, ta có: \( \int_{0}^{1}(1-x) d x = [x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{1} \). Thay các giá trị vào phương trình, ta có: \( [1 - \frac{1^2}{2}] - [0 - \frac{0^2}{2}] = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \). Tiếp theo, chúng ta sẽ tính tích phân của hàm \(|1-x|\) trên đoạn từ 1 đến 2. Trên đoạn này, hàm \(|1-x|\) có giá trị là x-1. Vì vậy, ta có thể viết lại phương trình tích phân như sau: \( \int_{1}^{2}(x-1) d x \). Áp dụng quy tắc tích phân cơ bản, ta có: \( \int_{1}^{2}(x-1) d x = [\frac{x^2}{2} - x]_{1}^{2} \). Thay các giá trị vào phương trình, ta có: \( [\frac{2^2}{2} - 2] - [\frac{1^2}{2} - 1] = 2 - 2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \). Tổng cộng, giá trị của phương trình tích phân \( \int_{0}^{2}|1-x| d x \) là tổng của hai phần đã tính: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \). Vậy, giá trị của phương trình tích phân \( \int_{0}^{2}|1-x| d x \) là 1. Trên đây là quá trình tính giá trị của phương trình tích phân \( \int_{0}^{2}|1-x| d x \). Bài toán này không chỉ giúp chúng ta nắm vững quy tắc tích phân cơ bản mà còn mang tính thực tế cao, áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.