Tìm giá trị của M khi M chia hết cho 4
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm giá trị của biểu thức M khi M chia hết cho 40. Biểu thức M được định nghĩa như sau: \[M=3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4}+\ldots+3^{29}+3^{100} \cdot \sin ^{1}\] Để tìm giá trị của M khi M chia hết cho 40, chúng ta cần phân tích biểu thức M thành các thành phần nhỏ hơn và xem xét tính chia hết của chúng. Đầu tiên, chúng ta có thể nhận thấy rằng các số mũ của 3 trong biểu thức M tăng dần từ 1 đến 100. Điều này cho phép chúng ta nhận thấy rằng các số mũ của 3 có chu kỳ lặp lại. Cụ thể, chu kỳ này có độ dài là 4, vì \(3^{1} \equiv 3 \pmod{40}\), \(3^{2} \equiv 9 \pmod{40}\), \(3^{3} \equiv 27 \pmod{40}\), và \(3^{4} \equiv 1 \pmod{40}\). Do đó, chúng ta có thể viết lại biểu thức M như sau: \[M = (3 + 9 + 27 + 1) + (3^{4} + 3^{8} + 3^{12} + \ldots + 3^{96} + 3^{100}) \cdot \sin ^{1}\] Chúng ta đã nhận thấy rằng phần đầu tiên của biểu thức M là một chuỗi số hạng hình thành một chu kỳ lặp lại. Tổng của chuỗi số hạng này là 40, vì \(3 + 9 + 27 + 1 = 40\). Do đó, phần đầu tiên của biểu thức M chia hết cho 40. Tiếp theo, chúng ta xem xét phần thứ hai của biểu thức M. Chúng ta đã biết rằng chu kỳ lặp lại của các số mũ của 3 có độ dài là 4. Vì vậy, chúng ta có thể viết lại phần thứ hai của biểu thức M như sau: \[3^{4} + 3^{8} + 3^{12} + \ldots + 3^{96} + 3^{100} = 3^{4} \cdot (1 + 3^{4} + 3^{8} + \ldots + 3^{92} + 3^{96})\] Chúng ta đã nhận thấy rằng phần trong ngoặc của biểu thức trên là một chuỗi số hạng hình thành một chu kỳ lặp lại. Tổng của chuỗi số hạng này là 40, vì \(1 + 3^{4} + 3^{8} + \ldots + 3^{92} + 3^{96} = 40\). Do đó, phần thứ hai của biểu thức M chia hết cho 40. Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng biểu thức M chia hết cho 40, vì cả hai phần của biểu thức đều chia hết cho 40.