Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm phương trình của mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại điểm $M(4;3;0)$. Đầu tiên, ta cần xác định vector pháp tuyến của mặt cầu và tọa độ của điểm tiếp xúc. Sau đó, sử dụng thông tin này để xây dựng phương trình của mặt phẳng $(P)$. Bước đầu tiên là tính toán vector pháp tuyến của mặt cầu $(S)$. Ta biết rằng vector pháp tuyến của mặt cầu chính là vector chỉ từ tâm của mặt cầu đến điểm tiếp xúc. Với tâm của mặt cầu là $(3;-1;-2)$ và điểm tiếp xúc $M(4;3;0)$, ta có thể tính được vector pháp tuyến $\vec{N}$. Tiếp theo, khi đã có được vector pháp tuyến $\vec{N}$, ta có thể sử dụng nó để xây dựng phương trình của mặt phẳng $(P)$. Phương trình của mặt phẳng trong không gian 3 chiều có dạng $ax + by + cz = d$, với $(a,b,c)$ chính là các thành phần của vector pháp tuyến $\vec{N}$. Thay vào đó, ta có thể tìm ra phương trình cụ thể của mặt phẳng $(P)$. Cuối cùng, kiểm tra xem phương trình mặt phẳng $(P)$ vừa tìm có thỏa mãn yêu cầu tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại điểm $M(4;3;0)$ hay không. Nếu phương trình đó đi qua điểm $M$ và có vector pháp tuyến chung với mặt cầu tại điểm tiếp xúc, thì đó chính là phương trình mặt phẳng cần tìm.