Tính các giới hạn của hàm
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính các giới hạn của các hàm số. Chúng ta sẽ tập trung vào hai ví dụ cụ thể để minh họa quá trình tính toán giới hạn. Phần đầu tiên: Giới hạn \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-3 x^{2}+2}{x^{2}-4 x+3} \) Để tính giới hạn này, chúng ta có thể sử dụng phép chia đạo hàm hoặc phép chia đạo hàm lần thứ hai. Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng ta sẽ sử dụng phép chia đạo hàm lần thứ hai để giải quyết bài toán. Bước đầu tiên là xác định giá trị của hàm số tại điểm giới hạn. Thay x = 1 vào hàm số, ta có: \( \frac{1^{3}-3 \cdot 1^{2}+2}{1^{2}-4 \cdot 1+3} = \frac{0}{0} \) Ta thấy rằng phép tính này không xác định, vì mẫu số và tử số đều bằng 0. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta có thể sử dụng phép chia đạo hàm lần thứ hai. Áp dụng phép chia đạo hàm lần thứ hai, ta có: \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{3 x^{2}-6 x}{2 x-4} \) Thay x = 1 vào phép tính trên, ta có: \( \frac{3 \cdot 1^{2}-6 \cdot 1}{2 \cdot 1-4} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} \) Vậy giới hạn của hàm số \( \frac{x^{3}-3 x^{2}+2}{x^{2}-4 x+3} \) khi x tiến đến 1 là \( \frac{3}{2} \). Phần thứ hai: Giới hạn \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^{2}-5 x+2}{x^{3}-8} \) Tương tự như phần trước, chúng ta sẽ sử dụng phép chia đạo hàm lần thứ hai để tính giới hạn này. Thay x = 2 vào hàm số, ta có: \( \frac{2 \cdot 2^{2}-5 \cdot 2+2}{2^{3}-8} = \frac{0}{0} \) Một lần nữa, ta thấy rằng phép tính này không xác định. Áp dụng phép chia đạo hàm lần thứ hai, ta có: \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{4 x-5}{3 x^{2}} \) Thay x = 2 vào phép tính trên, ta có: \( \frac{4 \cdot 2-5}{3 \cdot 2^{2}} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \) Vậy giới hạn của hàm số \( \frac{2 x^{2}-5 x+2}{x^{3}-8} \) khi x tiến đến 2 là \( \frac{1}{4} \). Kết luận: Chúng ta đã tính được các giới hạn của hai hàm số được đưa ra. Giới hạn của hàm số \( \frac{x^{3}-3 x^{2}+2}{x^{2}-4 x+3} \) khi x tiến đến 1 là \( \frac{3}{2} \), và giới hạn của hàm số \( \frac{2 x^{2}-5 x+2}{x^{3}-8} \) khi x tiến đến 2 là \( \frac{1}{4} \).