Giải hệ phương trình và chứng minh không gian con
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải hệ phương trình và chứng minh rằng tập nghiệm của hệ là không gian con của không gian \( \mathrm{R}^{4} \). Đầu tiên, chúng ta xem xét hệ phương trình đã cho: \[ \left\{\begin{array}{lllll}15 x_{1} & & -13 x_{3} & +2 x_{4} & =0 \\ x_{1} & -x_{2} & +x_{3} & +2 x_{3} & =0 \\ 2 x_{1} & +x_{2} & -4 x_{3} & +x_{4} & =0 \\ 3 x_{1} & -x_{2} & -2 x_{3} & +5 x_{4} & =0\end{array}\right. \] Để giải hệ này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp khử Gauss hoặc phương pháp ma trận. Tuy nhiên, trong bài viết này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp khử Gauss để giải hệ. Bước đầu tiên là biến đổi hệ phương trình thành ma trận mở rộng: \[ \left[\begin{array}{cccc|c}15 & 0 & -13 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & -4 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & -2 & 5 & 0\end{array}\right] \] Tiếp theo, chúng ta áp dụng các phép biến đổi hàng để đưa ma trận về dạng bậc thang: \[ \left[\begin{array}{cccc|c}15 & 0 & -13 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] Sau khi đưa ma trận về dạng bậc thang, chúng ta có thể dễ dàng đọc được các phương trình tương ứng: \[ \left\{\begin{array}{lllll}15 x_{1} & & -13 x_{3} & +2 x_{4} & =0 \\ -x_{2} & +2 x_{3} & & & =0 \\ -3 x_{3} & -3 x_{4} & & & =0\end{array}\right. \] Từ đây, chúng ta có thể thấy rằng \( x_{4} \) là biến tự do. Bằng cách giải các phương trình, chúng ta có thể tìm được giá trị của \( x_{1} \), \( x_{2} \) và \( x_{3} \) dựa trên \( x_{4} \). Sau khi giải hệ phương trình, chúng ta cần chứng minh rằng tập nghiệm của hệ là không gian con của không gian \( \mathrm{R}^{4} \). Để làm điều này, chúng ta cần chứng minh rằng tập nghiệm là một không gian con bằng cách kiểm tra các điều kiện cần và đủ. Đầu tiên, chúng ta cần chứng minh rằng tập nghiệm không rỗng. Điều này có thể được chứng minh bằng cách tìm một giá trị của \( x_{4} \) sao cho các phương trình trong hệ được thỏa mãn. Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng tập nghiệm đóng với phép cộng và