Phân tích và chứng minh 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trong toán học

(337 votes)

## Phân tích và chứng minh 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trong toán học Toán học là một môn học đầy thử thách nhưng cũng vô cùng hấp dẫn. Trong quá trình học tập, chúng ta sẽ gặp phải nhiều công thức, định lý và các khái niệm phức tạp. Tuy nhiên, có một số công thức đặc biệt được gọi là "hằng đẳng thức" đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán đại số. Bài viết này sẽ phân tích và chứng minh 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trong toán học, giúp bạn hiểu rõ hơn về bản chất và ứng dụng của chúng. #### Hằng đẳng thức thứ nhất: Bình phương của một tổng Hằng đẳng thức thứ nhất được biểu diễn như sau: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Công thức này cho thấy bình phương của một tổng bằng bình phương số hạng thứ nhất cộng hai lần tích của hai số hạng cộng bình phương số hạng thứ hai. Để chứng minh hằng đẳng thức này, ta có thể sử dụng phép nhân đa thức: $(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$ #### Hằng đẳng thức thứ hai: Bình phương của một hiệu Hằng đẳng thức thứ hai tương tự như hằng đẳng thức thứ nhất, nhưng thay vì cộng hai số hạng, ta trừ hai số hạng: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Công thức này cho thấy bình phương của một hiệu bằng bình phương số hạng thứ nhất trừ hai lần tích của hai số hạng cộng bình phương số hạng thứ hai. Chứng minh tương tự như hằng đẳng thức thứ nhất: $(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a(a - b) - b(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$ #### Hằng đẳng thức thứ ba: Hiệu hai bình phương Hằng đẳng thức thứ ba cho phép ta phân tích một hiệu hai bình phương thành tích của tổng và hiệu của hai số hạng: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$. Chứng minh: $(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ #### Hằng đẳng thức thứ tư: Lập phương của một tổng Hằng đẳng thức thứ tư biểu diễn lập phương của một tổng: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Công thức này cho thấy lập phương của một tổng bằng lập phương số hạng thứ nhất cộng ba lần tích bình phương số hạng thứ nhất nhân số hạng thứ hai cộng ba lần tích số hạng thứ nhất nhân bình phương số hạng thứ hai cộng lập phương số hạng thứ hai. Chứng minh: $(a + b)^3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a + b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ #### Hằng đẳng thức thứ năm: Lập phương của một hiệu Hằng đẳng thức thứ năm tương tự như hằng đẳng thức thứ tư, nhưng thay vì cộng hai số hạng, ta trừ hai số hạng: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. Công thức này cho thấy lập phương của một hiệu bằng lập phương số hạng thứ nhất trừ ba lần tích bình phương số hạng thứ nhất nhân số hạng thứ hai cộng ba lần tích số hạng thứ nhất nhân bình phương số hạng thứ hai trừ lập phương số hạng thứ hai. Chứng minh tương tự như hằng đẳng thức thứ tư: $(a - b)^3 = (a - b)(a - b)(a - b) = (a^2 - 2ab + b^2)(a - b) = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ #### Hằng đẳng thức thứ sáu: Tổng hai lập phương Hằng đẳng thức thứ sáu cho phép ta phân tích tổng hai lập phương thành tích của một tổng và một hiệu hai bình phương: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Chứng minh: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + ba^2 - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3$ #### Hằng đẳng thức thứ bảy: Hiệu hai lập phương Hằng đẳng thức thứ bảy cho phép ta phân tích hiệu hai lập phương thành tích của một hiệu và một tổng hai bình phương: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Chứng minh: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a(a^2 + ab + b^2) - b(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - ba^2 - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3$ ## Kết luận 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trong toán học là những công thức cơ bản nhưng vô cùng hữu ích trong việc giải quyết các bài toán đại số. Việc hiểu rõ bản chất và ứng dụng của các hằng đẳng thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và hiệu quả. Ngoài ra, việc nắm vững các hằng đẳng thức cũng là nền tảng cho việc học các kiến thức toán học nâng cao hơn trong tương lai.