Đổi thứ tự tích phân trong tích phân kép
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về cách đổi thứ tự tích phân trong tích phân kép. Yêu cầu của chúng ta là tính giá trị của tích phân kép sau đây: \[ I=\int_{-1}^{1} d x \int_{x^{2}}^{2-x} f(x, y) d y \] Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành đổi thứ tự tích phân. Thay vì tích phân theo trục x trước, chúng ta sẽ tích phân theo trục y trước. Đầu tiên, chúng ta xem xét giới hạn của tích phân theo trục y. Từ đề bài, chúng ta biết rằng giới hạn của y nằm trong khoảng từ \(x^2\) đến \(2-x\). Vì vậy, chúng ta có thể viết lại tích phân theo trục y như sau: \[ I=\int_{-1}^{1} d x \int_{x^{2}}^{2-x} f(x, y) d y = \int_{-1}^{1} d x \int_{x^{2}}^{2-x} f(x, y) d y \] Tiếp theo, chúng ta tích phân theo trục y. Để làm điều này, chúng ta giữ nguyên giới hạn của x và tích phân theo y từ \(x^2\) đến \(2-x\). Khi tích phân theo y, chúng ta coi x là một hằng số. Vì vậy, chúng ta có thể viết lại tích phân theo y như sau: \[ I=\int_{-1}^{1} d x \int_{x^{2}}^{2-x} f(x, y) d y = \int_{-1}^{1} \left(\int_{x^{2}}^{2-x} f(x, y) d y\right) d x \] Sau khi đổi thứ tự tích phân, chúng ta có thể tính giá trị của tích phân kép theo cách thông thường.