Chứng minh và tìm ánh xạ ngược của hàm số \(f(x) = x^2 - 6x + 11\) trong miền xác định \(x \in [4, 7)\) và miền giá trị \(y \in [3, 18)\)
Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh rằng hàm số \(f(x) = x^2 - 6x + 11\) là một ánh xạ song ánh và tìm ánh xạ ngược của nó. Để chứng minh rằng \(f(x)\) là một ánh xạ, ta cần chứng minh rằng nó là một ánh xạ một một và ánh xạ vào. Đầu tiên, để chứng minh tính một một của \(f(x)\), ta giả sử rằng \(f(x_1) = f(x_2)\) với \(x_1, x_2 \in [4, 7)\). Khi đó, ta có: \(x_1^2 - 6x_1 + 11 = x_2^2 - 6x_2 + 11\) Simplifying this equation, we get: \(x_1^2 - x_2^2 - 6x_1 + 6x_2 = 0\) Factoring the left side of the equation, we have: \((x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 6) = 0\) Since \(x_1\) and \(x_2\) are both in the interval \([4, 7)\), we can conclude that \(x_1 - x_2 <br/ >eq 0\) and \(x_1 + x_2 - 6 <br/ >eq 0\). Therefore, the only possible solution is \(x_1 = x_2\), which proves that \(f(x)\) is injective. Next, to prove that \(f(x)\) is surjective, we need to show that for every \(y\) in the range \([3, 18)\), there exists an \(x\) in the domain \([4, 7)\) such that \(f(x) = y\). Let's consider an arbitrary \(y\) in the range. We can rewrite the equation \(f(x) = y\) as: \(x^2 - 6x + 11 = y\) Rearranging this equation, we get: \(x^2 - 6x + (11 - y) = 0\) Using the quadratic formula, we can solve for \(x\): \(x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(11 - y)}}{2(1)}\) Simplifying this equation, we have: \(x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(11 - y)}}{2}\) \(x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 44 + 4y}}{2}\) \(x = \frac{6 \pm \sqrt{4y - 8}}{2}\) \(x = 3 \pm \sqrt{y - 2}\) Since \(y\) is in the range \([3, 18)\), we can conclude that \(y - 2\) is non-negative. Therefore, the square root in the equation is defined. Moreover, since \(x\) is in the domain \([4, 7)\), we can see that \(3 - \sqrt{y - 2}\) is less than 4 and \(3 + \sqrt{y - 2}\) is greater than 7. Thus, the only possible solution is \(x = 3 + \sqrt{y - 2}\), which proves that \(f(x)\) is surjective. Now, let's find the inverse function of \(f(x)\). To do this, we need to solve the equation \(y = x^2 - 6x + 11\) for \(x\). Rearranging the equation, we have: \(x^2 - 6x + (11 - y) = 0\) Using the quadratic formula, we can solve for \(x\): \(x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(11 - y)}}{2(1)}\) Simplifying this equation, we have: \(x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(11 - y)}}{2}\) \(x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 44 + 4y}}{2}\) \(x = \frac{6 \pm \sqrt{4y - 8}}{2}\) \(x = 3 \pm \sqrt{y - 2}\) Therefore, the inverse function of \(f(x)\) is \(f^{-1}(y) = 3 \pm \sqrt{y - 2}\). In conclusion, we have proven that the function \(f(x) = x^2 - 6x + 11\) is a bijective function and we have found its inverse function \(f^{-1}(y) = 3 \pm \sqrt{y - 2}\).