Tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x)=\frac{3 x-1}{(x-1)^{2}} \) trên khoảng \( (1 ;+\infty) \)
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x)=\frac{3 x-1}{(x-1)^{2}} \) trên khoảng \( (1 ;+\infty) \). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân và các quy tắc liên quan. Đầu tiên, chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc phân tích hàm số \( f(x) \). Ta có thể thấy rằng \( f(x) \) có dạng phân thức, với tử số là \( 3x-1 \) và mẫu số là \( (x-1)^2 \). Để tìm nguyên hàm của \( f(x) \), chúng ta cần phải tìm một hàm số \( F(x) \) sao cho \( F'(x) = f(x) \). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc tích phân của phân thức. Đầu tiên, chúng ta phân tích \( f(x) \) thành các phân thức đơn giản hơn. Ta có thể viết lại \( f(x) \) dưới dạng: \[ f(x) = \frac{3x-1}{(x-1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} \] Trong đó \( A \) và \( B \) là các hằng số cần tìm. Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm các giá trị của \( A \) và \( B \) bằng cách so sánh các hệ số của \( x \) trong phân thức ban đầu và phân thức phân tích. Sau khi tìm được \( A \) và \( B \), chúng ta có thể viết lại \( f(x) \) dưới dạng: \[ f(x) = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} \] Tiếp theo, chúng ta sẽ tính nguyên hàm của \( f(x) \) bằng cách tích phân từng phân thức riêng biệt. Đầu tiên, chúng ta tích phân phân thức \( \frac{A}{x-1} \). Kết quả là \( A \ln|x-1| + C_1 \), trong đó \( C_1 \) là hằng số tích cực. Tiếp theo, chúng ta tích phân phân thức \( \frac{B}{(x-1)^2} \). Kết quả là \( -\frac{B}{x-1} + C_2 \), trong đó \( C_2 \) là hằng số tích cực. Vậy, nguyên hàm của \( f(x) \) trên khoảng \( (1 ;+\infty) \) là: \[ F(x) = A \ln|x-1| - \frac{B}{x-1} + C \] Trong đó \( C \) là hằng số tích cực. Tổng kết lại, nguyên hàm của hàm số \( f(x)=\frac{3 x-1}{(x-1)^{2}} \) trên khoảng \( (1 ;+\infty) \) là \( F(x) = A \ln|x-1| - \frac{B}{x-1} + C \).