Giải phương trình tích phân đa biến

4

(242 votes)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ giải phương trình tích phân đa biến được cho bởi \( I=\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{1} e^{x^{2}} d x \). Đây là một bài toán tích phân hai lớp, trong đó chúng ta tích phân trước theo biến y và sau đó tích phân theo biến x. Để giải phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân theo thứ tự ngược lại. Đầu tiên, chúng ta sẽ tích phân theo biến x từ giá trị y đến 1. Sau đó, chúng ta sẽ tích phân theo biến y từ 0 đến 1. Bắt đầu với tích phân theo biến x, chúng ta có: \[ \int_{y}^{1} e^{x^{2}} d x \] Để tích phân này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Đặt \( u = x^2 \), ta có \( d u = 2x d x \). Khi đó, tích phân trở thành: \[ \int_{y^2}^{1} \frac{1}{2} e^{u} d u \] Tiếp theo, chúng ta tích phân theo biến y từ 0 đến 1: \[ \int_{0}^{1} \left( \int_{y^2}^{1} \frac{1}{2} e^{u} d u \right) d y \] Để tích phân này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp tích phân theo biến số. Đặt \( v = y^2 \), ta có \( d v = 2y d y \). Khi đó, tích phân trở thành: \[ \int_{0}^{1} \left( \int_{v}^{1} \frac{1}{2} e^{u} d u \right) \frac{1}{2\sqrt{v}} d v \] Tiếp theo, chúng ta tính tích phân trong ngoặc đơn: \[ \int_{v}^{1} \frac{1}{2} e^{u} d u \] Để tích phân này, chúng ta có thể sử dụng quy tắc tích phân cơ bản. Khi đó, tích phân trở thành: \[ \frac{1}{2} \left[ e^{u} \right]_{v}^{1} = \frac{1}{2} \left( e - e^{v} \right) \] Cuối cùng, chúng ta tính tích phân chính: \[ \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2} \left( e - e^{v} \right) \right) \frac{1}{2\sqrt{v}} d v \] Để tích phân này, chúng ta có thể sử dụng quy tắc tích phân cơ bản. Khi đó, tích phân trở thành: \[ \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{e - e^{v}}{2\sqrt{v}} d v \] Để tích phân này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Đặt \( w = \sqrt{v} \), ta có \( d w = \frac{1}{2\sqrt{v}} d v \). Khi đó, tích phân trở thành: \[ \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (e - e^{w^2}) d w \] Cuối cùng, tính tích phân này: \[ \frac{1}{2} \left[ e w - \frac{1}{2} e^{w^2} \right]_{0}^{1}