Câu (2x,y,0) .Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1),B(-2;1;0),C(2;-3;1) Điểm S(a;b;c) sao cho SA^2+2SB^2+3SC^2 đạt giá trị nhỏ nhất. Biết a+b+c=(m)/(n) với (m)/(n) tối giản và ngt 0 . Tính m+n

Gọi $S(a, b, c)$. Ta có:<br />$SA^2 = (a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2$<br />$SB^2 = (a+2)^2 + (b-1)^2 + c^2$<br />$SC^2 = (a-2)^2 + (b+3)^2 + (c-1)^2$<br /><br />$SA^2 + 2SB^2 + 3SC^2 = (a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 + 2[(a+2)^2 + (b-1)^2 + c^2] + 3[(a-2)^2 + (b+3)^2 + (c-1)^2]$<br /><br />Để biểu thức trên đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm đạo hàm riêng theo a, b, c và cho bằng 0. Tuy nhiên, phương pháp này khá phức tạp. Một cách tiếp cận đơn giản hơn là sử dụng trọng tâm có trọng số.<br /><br />Ta có thể xem biểu thức $SA^2 + 2SB^2 + 3SC^2$ như là tổng bình phương khoảng cách từ S đến A, B, C với các trọng số tương ứng là 1, 2, 3. Điểm S làm cho biểu thức này nhỏ nhất chính là trọng tâm có trọng số của hệ điểm {A, B, C} với các trọng số {1, 2, 3}.<br /><br />Tọa độ trọng tâm có trọng số được tính như sau:<br />$a = \frac{1(1) + 2(-2) + 3(2)}{1+2+3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$<br />$b = \frac{1(1) + 2(1) + 3(-3)}{1+2+3} = \frac{-6}{6} = -1$<br />$c = \frac{1(1) + 2(0) + 3(1)}{1+2+3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$<br /><br />Vậy $S(\frac{1}{2}, -1, \frac{2}{3})$. Do đó $a+b+c = \frac{1}{2} - 1 + \frac{2}{3} = \frac{3 - 6 + 4}{6} = \frac{1}{6}$.<br /><br />Vậy $\frac{m}{n} = \frac{1}{6}$, $m=1, n=6$.<br /><br />Đáp án đúng là $\frac{1}{6}$.<br />