a. Khả 0 sát sự hội tụ của chuỗi số sau: sum _(n=2)^infty ((-1)^n)/(sqrt (n)+(-1)^n)

Để xác định sự hội tụ của chuỗi số <br />\[<br />\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n},<br />\]<br />chúng ta cần xem xét biểu thức của từng hạng tử và cách chúng biến đổi khi \( n \to \infty \).<br /><br />首先，我们来看一下每一项的形式：<br />\[<br />a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}.<br />\]<br /><br />当 \( n \) 很大时，\((-1)^n\) 的值会在 \(-1\) 和 \(1\) 之间交替变化，而 \(\sqrt{n}\) 会不断增大。因此，我们可以忽略 \((-1)^n\) 对分母的影响，简化为：<br />\[<br />a_n \approx \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}.<br />\]<br /><br />接下来，我们考虑绝对值：<br />\[<br />|a_n| = \left|\frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}\right| \leq \frac{1}{\sqrt{n}}.<br />\]<br /><br />因此，\(|a_n|\) 是一个递减的正数序列，其极限为0：<br />\[<br />\lim_{n \to \infty} |a_n| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0.<br />\]<br /><br />根据莱布尼茨判别法（Leibniz's test），如果一个交替级数的绝对值是单调递减的，并且其极限为0，那么这个级数是收敛的。因此，我们可以得出结论：<br /><br />\[<br />\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}<br />\]<br />是收敛的。<br /><br />综上所述，这个级数是收敛的。