Câu 52. Tinh int x^2(1+(1)/(x)-(tan^2x)/(x^2))dx Trá lời: __

Để tính tích phân này, chúng ta sẽ phân rã biểu thức trong dấu tích phân và tính tích phân từng phần.<br /><br />\[<br />\int x^{2}\left(1+\frac {1}{x}-\frac {\tan ^{2}x}{x^{2}}\right)dx = \int x^{2}dx + \int x^{2}\cdot\frac {1}{x}dx - \int x^{2}\cdot\frac {\tan ^{2}x}{x^{2}}dx<br />\]<br /><br />1. Tính \(\int x^{2}dx\):<br /><br />\[<br />\int x^{2}dx = \frac{x^3}{3}<br />\]<br /><br />2. Tính \(\int x^{2}\cdot\frac {1}{x}dx\):<br /><br />\[<br />\int x^{2}\cdot\frac {1}{x}dx = \int xdx = \frac{x^2}{2}<br />\]<br /><br />3. Tính \(\int x^{2}\cdot\frac {\tan ^{2}x}{x^{2}}dx\):<br /><br />\[<br />\int x^{2}\cdot\frac {\tan ^{2}x}{x^{2}}dx = \int \tan^2(x)dx<br />\]<br /><br />Biểu thức \(\tan^2(x)\) có thể được viết lại như sau:<br /><br />\[<br />\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1<br />\]<br /><br />Vì vậy, tích phân trở thành:<br /><br />\[<br />\int \tan^2(x)dx = \int (\sec^2(x) - 1)dx = \int \sec^2(x)dx - \int 1dx<br />\]<br /><br />Tính từng phần:<br /><br />\[<br />\int \sec^2(x)dx = \tan(x)<br />\]<br />\[<br />\int 1dx = x<br />\]<br /><br />Do đó:<br /><br />\[<br />\int \tan^2(x)dx = \tan(x) - x<br />\]<br /><br />Kết hợp tất cả các kết quả lại:<br /><br />\[<br />\int x^{2}\left(1+\frac {1}{x}-\frac {\tan ^{2}x}{x^{2}}\right)dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - (\tan(x) - x) + C<br />\]<br /><br />Trong đó \(C\) là hằng số tích phân.