Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (0;6cm) sao cho OA=10cm. vẽ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm). Lấy một điểm C trên đường tròn sao cho AC=AB a/Chứng minh: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) b/ Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

**a/ Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O):**<br /><br />Ta có AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên $\angle ABO = 90^{\circ}$.<br />Trong tam giác ABO, theo định lý Pytago, ta có: $AB^2 + OB^2 = OA^2$, suy ra $AB^2 = OA^2 - OB^2 = 10^2 - 6^2 = 64$, do đó $AB = 8$.<br />Vì AC = AB = 8, nên tam giác ABC cân tại A.<br />Gọi M là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao, suy ra $AM \perp BC$.<br />Xét tam giác OAM và tam giác OBM:<br />OA = OB = 6 (bán kính)<br />OM chung<br />AM = BM (M là trung điểm BC)<br />=> $\triangle OAM = \triangle OBM$ (c.c.c)<br />=> $\angle OMA = \angle OMB = 90^{\circ}$<br />=> $OM \perp BC$ tại M.<br />Trong $\triangle OBC$, OB = OC = 6 nên $\triangle OBC$ cân tại O.<br />Mà OM là đường cao nên OM cũng là đường trung tuyến, suy ra M là trung điểm BC.<br />Xét $\triangle OAC$, ta có $OA^2 = 10^2 = 100$, $OC^2 = 6^2 = 36$, $AC^2 = 8^2 = 64$.<br />Ta thấy $OA^2 = OC^2 + AC^2$, theo định lý Pytago đảo, suy ra $\triangle OAC$ vuông tại C.<br />Vậy OC $\perp$ AC tại C, tức là AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).<br /><br /><br />**b/ Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC:**<br /><br />Ta đã tính được AB = 8cm và AC = AB = 8cm.<br /><br />Để tính BC, xét tam giác OBC cân tại O. OM là đường cao nên cũng là đường trung tuyến. Trong tam giác vuông OMC, ta có $OM^2 + MC^2 = OC^2$. Ta cần tìm OM.<br /><br />Trong tam giác OAB vuông tại B, ta có $OB^2 + AB^2 = OA^2$, $OB = 6$, $OA = 10$, nên $AB = 8$.<br />Trong tam giác ABC cân tại A, AM là đường cao, nên M là trung điểm BC.<br />$AM^2 + BM^2 = AB^2$<br />$OM^2 + AM^2 = OA^2$<br />$OM^2 + BM^2 = OB^2$<br /><br />Từ các tam giác vuông, ta có hệ phương trình để giải tìm BC. Tuy nhiên, cách đơn giản hơn là sử dụng công thức Heron. Chu vi tam giác ABC là 24. Diện tích tam giác ABC = $\frac{1}{2} \times AB \times OC = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$. Áp dụng công thức Heron, ta có thể tính được BC. Tuy nhiên, vì tam giác ABC cân tại A, và AC=AB=8, ta có thể sử dụng định lý cosin trong tam giác OAC:<br /><br />$AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2(OA)(OC)cos(\angle AOC)$<br />$64 = 100 + 36 - 120 cos(\angle AOC)$<br />$cos(\angle AOC) = \frac{72}{120} = \frac{3}{5}$<br />$sin(\angle AOC) = \frac{4}{5}$<br /><br />Trong tam giác ABC, BC = 2 * BM = 2 * 6 * (4/5) = 9.6<br /><br />Vậy AB = AC = 8cm, BC = 9.6cm.<br />