Câu 19 Cho tứ diện A BCD. Gọi M, N là trung điểm của CD và AB, G là trung điểm của MN, AG cắt mp (BCD) tại AI. Tính tỉ số ((GA)/(GA')+1)^2

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số tính chất của tứ diện và các đoạn thẳng liên quan.<br /><br />1. **Xác định các điểm và đoạn thẳng:**<br /> - M là trung điểm của CD.<br /> - N là trung điểm của AB.<br /> - G là trung điểm của MN.<br /> cắt mặt phẳng (BCD) tại I.<br /><br />2. **Tính chất của trung điểm:**<br /> - Vì M và N là trung điểm, nên \( AM = \frac{1}{2}BC \) và \( AN = \frac{1}{2}BD \).<br /><br />3. **Tính chất của G:**<br /> - G là trung điểm của MN, nên \( MG = \frac{1}{2}MN \).<br /><br />4. **Tính chất của AG:**<br /> - AG cắt mặt phẳng (BCD) tại I. Do đó, \( AI \) là một đoạn thẳng trên AG.<br /><br />5. **Tính tỉ**<br /> - Chúng ta cần tính tỉ số \( \left(\frac{GA}{GA'} + 1\right)^2 \).<br /> - Ở đây, \( GA' \) có thể được hiểu là đoạn thẳng từ G đến A' trên mặt phẳng (BCD).<br /><br />6. **Sử dụng định lý Pythagoras:**<br /> - Trong tam giác AGI, ta có:<br /> \[<br /> GA^2 = GI^2 + AI^2<br /> \]<br /> - Tương tự, trong tam giác AG'A', ta có:<br /> \[<br /> GA'^2 = GI^2 + A'I^2<br /> \]<br /><br />7. **Tính chất của đoạn thẳng trên mặt phẳng:**<br /> - Vì G là trung điểm của MN, nên \( GI = \frac{1}{2}IN \).<br /> - Vì I là điểm chung của AG và mặt phẳng (BCD), nên \( AI = \frac{1}{2}BD \).<br /><br />8. **Kết hợp các tỉ số:**<br /> - Từ các tính chất trên, ta có:<br /> \[<br /> GA = \frac{1}{2}MN<br /> \]<br /> \[<br /> GA' = \frac{1}{2}MB<br /> \]<br /> - Do đó:<br /> \[<br /> \frac{GA}{GA'} = \frac{\frac{1}{2}MN}{\frac{1}{2}MB} = \frac{MN}{MB} = \frac{1}{2}<br /> \]<br /><br />9. **Tính tỉ số cuối cùng:**<br /> - Thay vào công thức cần tính:<br /> \[<br /> \left(\frac{GA}{GA'} + 1\right)^2 = \left(\frac{1}{2} + 1\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}<br /> \]<br /><br />Vậy tỉ số \( \left(\frac{GA}{GA'} + 1\right)^2 \) là \( \frac{9}{4} \).