8/ lnm(1+2+ldots +2^n)/(1+5+ldots +5^n)

Để giải quyết biểu thức này, chúng ta cần tính giá trị của \( \ln \frac{1+2+\ldots+2^n}{1+5+\ldots+5^n} \).<br /><br />### Bước 1: Tính tổng \(1 + 2 + \ldots + )<br />Tổng của dãy số hình thức \(1 + 2 + \ldots + 2^n\) là:<br />\[<br />1 + 2 + \ldots + 2^n = 2^{n+1} - 1<br />\]<br /><br />### Bước 2: Tính tổng \(15 + \ldots + 5^n\)<br />Tổng của dãy số hình thức \(1 + 5 + \ldots + 5^n\) là:<br />\[<br />1 + 5 + \ldots + 5^n = \frac{5(5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{5^{n+1} - 5}{4}<br />\]<br /><br />### Bước 3: Tính hai tổng<br />Tỷ số của hai tổng là:<br />\[<br />\frac{2^{n+1} - 1}{\frac{5^{n+1} - 5}{4}} = \frac{4(2^{n+1} - 1)}{5^{n+1} - 5}<br />\]<br /><br />### Bước 4: Áp dụng logarith tự nhiên<br />Cuối cùng, áp dụng logarith tự nhiên vào tỷ số này:<br />\[<br />\ln \left( \frac{4(2^{n+1} - 1)}{5^{n+1} - 5} \right)<br />\]<br /><br />Vậy, biểu thức \( \ln{1+2+\ldots+2^n}{1+5+\ldots+5^n} \) có giá trị là:<br />\[<br />\boxed{\ln \left( \frac{4(2^{n+1} - 1)}{5^{n+1} - 5} \right)}<br />\]