Câu 71: Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất (kết quả được tính theo centimét và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Để tìm kích thước của hộp đựng hình trụ sao cho chi phí vật liệu là nhỏ nhất, ta cần tối ưu hóa diện tích bề mặt của hộp đựng với thể tích cố định là 1 lít (1000 cm³).<br /><br />Gọi \( r \) là bán kính đáy của hộp đựng và \( h \) là chiều cao của nó. Thể tích của hộp đựng là:<br /><br />\[ V = \pi r^2 h = 1000 \, \text{cm}^3 \]<br /><br />Diện tích bề mặt của hộp đựng (không tính đáy) là:<br /><br />\[ S = 2\pi r h + \pi r^2 \]<br /><br />Chúng ta cần tối thiểu hóa \( S \) theo \( r \) và \( h \). Từ công thức thể tích, ta có:<br /><br />\[ h = \frac{1000}{\pi r^2} \]<br /><br />Thay \( h \) vào công thức diện tích bề mặt:<br /><br />\[ S = 2\pi r \left(\frac{1000}{\pi r^2}\right) + \pi r^2 \]<br />\[ S = \frac{2000}{r} + \pi r^2 \]<br /><br />Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), ta đạo hàm \( S \) theo \( r \) và giải phương trình đạo hàm bằng 0:<br /><br />\[ \frac{dS}{dr} = -\frac{2000}{r^2} + 2\pi r = \[\pi r = \frac{2000}{r^2} \]<br />\[ 2\pi r^3 = 2000 \]<br />\[ r^3 = \frac{1000}{\pi} \]<br />\[ r = \sqrt[3]{\frac{1000}{\pi}} \]<br /><br />Tính \( r \):<br /><br />\[ r \approx \sqrt[3]{318.31} \approx 6.91 \, \text{cm} \]<br /><br />Thay \( r \) vào công thức tính \( h \):<br /><br />\[ h = \frac{1000}{\pi (6.91)^2} \approx \frac{1000}{149.86} \approx 6.67 \, \text{cm} \]<br /><br />Vậy, kích thước của hộp đựng để chi phí vật liệu là nhỏ nhất là:<br /><br />- Bán kính đáy \( r \approx 6.91 \, \text{cm)<br />- Chiều cao \( h \approx 6.67 \, \text{cm} \)<br /><br />Lưu ý rằng kết quả này đã được làm tròn đến hai chữ số thập phân.