: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2024;2025] đề hàm số it y=((2m+1)x+3)/(x+m) đồng biến trên (4;+infty )

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định điều kiện để hàm số \( y = \frac{(2m+1)x + 3}{x + m} \) đồng biến trên khoảng \( (4; +\infty) \).<br /><br />1. **Tính đạo hàm của hàm số:**<br /><br /> Hàm số cho trên có dạng:<br /> \[<br /> y = \frac{ax + b}{x + c}<br /> \]<br /> với \( a = 2m + 1 \), \( b = 3 \), và \( c = m \).<br /><br /> Ta cần tính đạo hàm \( y' \) của hàm số này. Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân số, ta có:<br /> \[<br /> y' = \frac{(a(x + c) - (ax + b))}{(x + c)^2} = \frac{ac - b}{(x + c)^2}<br /> \]<br /><br />2. **Điều kiện đồng biến:**<br /><br /> Hàm số \( y \) đồng biến khi và chỉ khi \( y' \geq 0 \). Do đó, ta cần giải bất phương trình:<br /> \[<br /> \frac{ac - b}{(x + c)^2} \geq 0<br /> \]<br /> Điều này tương đương với:<br /> \[<br /> ac - b \geq 0<br /> \]<br /><br />3. **Thay các giá trị \( a \), \( b \), và \( c \):**<br /><br /> Thay \( a = 2m + 1 \), \( b = 3 \), và \( c = m \) vào bất phương trình trên, ta được:<br /> \[<br /> (2m + 1)m - 3 \geq 0<br /> \]<br /> Tức là:<br /> \[<br /> 2m^2 + m - 3 \geq 0<br /> \]<br /><br />4. **Giải bất phương trình:**<br /><br /> Giải phương trình \( 2m^2 + m - 3 = 0 \) để tìm nghiệm. Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:<br /> \[<br /> m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}<br /> \]<br /> với \( a = 2 \), \( b = 1 \), và \( c = -3 \). Thay vào công thức, ta được:<br /> \[<br /> m = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4}<br /> \]<br /> Vậy nghiệm của phương trình là:<br /> \[<br /> m_1 = 1 \quad \text{và} \quad m_2 = -\frac{3}{2}<br /> \]<br /><br /> Bất phương trình \( 2m^2 + m - 3 \geq 0 \) có nghiệm là:<br /> \[<br /> m \leq -\frac{3}{2} \quad \text{hoặc} \quad m \geq 1<br /> \]<br /><br />5. **Tìm số nguyên \( m \) trong khoảng \([-2024, 2025]\):**<br /><br /> Trong khoảng \([-2024, 2025]\), các giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn \( m \leq -\frac{3}{2} \) hoặc \( m \geq 1 \) là:<br /><br /> - Đối với \( m \leq -\frac{3}{2} \): Các giá trị nguyên từ \(-2024\) đến \(-2\) (vì \(-\frac{3}{2} \approx -1.5\)).<br /> - Đối với \( m \geq 1 \): Các giá trị nguyên từ \(1\) đến \(2025\).<br /><br /> Tổng cộng có:<br /> \[<br /> (-2024) - (-2) + 1 + 2025 = 2024 + 1 + 2025 = 4050<br /> \]<br /><br />Vậy, có tổng cộng \( 4050 \) giá trị nguyên của \( m \) thuộc đoạn \([-2024, 2025]\) để hàm số \( y = \frac{(2m+1)x + 3}{x + m} \) đồng biến trên \( (4; +\infty) \).