5.73. Cho đường tròn (O;R) dây MN vuông góc với bán kính OA tại trung điểm H của OA. Các tiếp tuyến với (O) tại M và N cắt nhau ở B. a) Chứng minh rằng ba điểm O, A , B thẳng hàng. b) Delta BMN là tam giác gì? c) Tính BM theo R. d) Tính diện tích tam giác cong giới hạn bởi các đoạn thẳng BM, BN và cung nhỏ MN.

a) Gọi $I$ là trung điểm của $MN$. Ta có $OH \perp MN$ và $OH = \frac{1}{2}R$. Vì $AI$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ nên $AI \perp OA$. Do đó, $O, A, I$ thẳng hàng. Tương tự, $O, I, B$ thẳng hàng. Vậy $O, A, B$ thẳng hàng.<br /><br />b) Vì $OM, ON$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $M, N$ nên $\angle MON = \angle MBO + \angle NBO = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Vậy $\Delta BMN$ là tam giác vuông tại $M$.<br /><br />c) Vì $\Delta BMN$ là tam giác vuông tại $M$ nên $BM = \sqrt{BN^2 - MN^2} = \sqrt{R^2 - (\frac{1}{2}R)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}R^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}R$.<br /><br />d) Diện tích tam giác cong giới hạn bởi các đoạn thẳng $BM, BN$ và cung nhỏ $MN$ bằng diện tích tam giác $BMN$ trừ đi diện tích tam giác $BON$. Ta có diện tích tam giác $BMN$ bằng một nửa tích của $BM$ và $BN$, tức là $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}R \cdot R = \frac{\sqrt{3}}{4}R^2$. Diện tích tam giác $BON$ bằng một nửa tích của $BO$ và $ON$, tức là $\frac{1}{2} \cdot R \cdot \frac{1}{2}R = \frac{1}{4}R^2$. Vậy diện tích tam giác cong là $\frac{\sqrt{3}}{4}R^2 - \frac{1}{4}R^2 = \frac{\sqrt{3}-1}{4}R^2$.