u 3: Chu kì bán ra của chất phóng xạ Plutolium Pu^239 là 24360 nǎm (tức là một lượng chất Pu^239 sau 24360 nǎm phân háy còn một nứa).Sự phân hủy này được tính theo công thức S=Ae^-n trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là ti lệ phân hủy hàng nǎm.1 là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy 1.Hỏi 20 gam Pu^239 sau ít nhất bao nhiêu nǎm thi phân hủy còn 4 gam?

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức phân hủy chất phóng xạ:<br /><br />\[ S = A e^{-r t} \]<br /><br />Trong đó:<br />- \( S \) là lượng chất còn lại sau thời gian \( t \).<br />- \( A \) là lượng chất ban đầu.<br />- \( r \) là tỷ lệ phân hủy hàng năm.<br />- \( t \) là thời gian phân hủy.<br /><br />Chúng ta biết rằng chu kỳ bán rã của \( Pu^{239} \) là 24360 năm, nghĩa là sau 24360 năm, lượng chất còn lại sẽ bằng một nửa lượng ban đầu. Do đó, \( r \) có thể được tính bằng cách sử dụng công thức:<br /><br />\[ \frac{1}{2} = e^{-r \cdot 24360} \]<br /><br />Giải phương trình này để tìm \( r \):<br /><br />\[ \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -r \cdot 24360 \]<br />\[ r = \frac{\ln(2)}{24360} \]<br /><br />Bây giờ, chúng ta cần tìm thời gian \( t \) sao cho lượng chất còn lại \( S \) là 4 gam từ lượng ban đầu \( A \) là 20 gam:<br /><br />\[ 4 = 20 e^{-r t} \]<br /><br />Thay \( r \) vào phương trình:<br /><br />\[ 4 = 20 e^{-\left(\frac{\ln(2)}{24360}\right) t} \]<br /><br />Chia cả hai vế cho 20:<br /><br />\[ 0.2 = e^{-\left(\frac{\ln(2)}{24360}\right) t} \]<br /><br />Lấy ln cả hai vế:<br /><br />\[ \ln(0.2) = -\left(\frac{\ln(2)}{24360}\right) t \]<br /><br />Giải phương trình này để tìm \( t \):<br /><br />\[ t = \frac{\ln(0.2)}{-\left(\frac{\ln(2)}{24360}\right)} \]<br /><br />Tính toán giá trị của \( t \):<br /><br />\[ t = \frac{\ln(0.2)}{-\left(\frac{\ln(2)}{24360}\right)} \approx \frac{-1.6094}{-0.0000289} \approx 55800 \text{ năm} \]<br /><br />Vậy, 20 gam \( Pu^{239} \) sẽ phân hủy còn 4 gam sau khoảng 55800 năm.