Bài 5: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=2x^2-2xy+2y^2-4x-7y+19

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 2x^2 - 2xy + 2y^2 - 4x - 7y + 19 \), chúng ta cần hoàn thành bình phương hoặc sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm điểm cực tiểu.<br /><br />### Phương pháp hoàn thành bình phương<br /><br />1. **Tách các biến:**<br /> \[<br /> A = 2x^2 - 2xy + 2y^2 - 4x - 7y + 19<br /> \]<br /><br />2. **Nhóm các hạng tử:**<br /> \[<br /> A = (2x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 4x - 7y + 19)<br /> \]<br /><br />3. **Hoàn thành bình phương cho phần đầu:**<br /> \[<br /> 2x^2 - 2xy + y^2 = (x - \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4}<br /> \]<br /><br />4. **Hoàn thành bình phương cho phần sau:**<br /> \[<br /> y^2 - 4x - 7y + 19 = (y - \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} - 4x + 19<br /> \]<br /> \[<br /> = (y - \frac{7}{2})^2 - 4x + \frac{57}{4}<br /> \]<br /><br />5. **Kết hợp lại:**<br /> \[<br /> A = (x - \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4} + (y - \frac{7}{2})^2 - 4x + \frac{57}{4}<br /> \]<br /><br />6. **Tìm điểm cực tiểu bằng cách giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0:**<br /> \[<br /> \frac{\partial A}{\partial x} = 2(x - \frac{y}{2}) \cdot \frac{\partial}{\partial x} + 4(y - \frac{7}{2}) \cdot \frac{\partial}{\partial x} = 0<br /> \]<br /> \[<br /> \frac{\partial A}{\partial y} = 2(\frac{3y}{4} + y - \frac{7}{2}) \cdot \frac{\partial}{\partial y} + 4(y - \frac{7}{2}) \cdot \frac{\partial}{\partial y} = 0<br /> \]<br /><br />Giải hệ phương trình này sẽ cho ta điểm \((x, y)\) tương ứng với giá trị nhỏ nhất của \(A\).<br /><br />### Kết luận<br /><br />Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) sẽ được tìm thấy tại điểm \((x, y)\) là nghiệm của hệ phương trình trên. Để xác định chính xác giá trị nhỏ nhất, cần giải quyết hệ phương trình đạo hàm bằng 0.