Câu 15. Giới hạn lim (sqrt (n^2+n)+3sqrt (n^2+1))/(n+1) có kết quả là a. Tính 2a+3 Trả lời: __

Để tìm giới hạn của biểu thức \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + n} + 3\sqrt{n^2 + 1}}{n + 1}\), ta cần phân tích từng thành phần của biểu thức khi \(n\) tiến tới vô cùng.<br /><br />1. Xét phần \(\sqrt{n^2 + n}\):<br /> \[<br /> \sqrt{n^2 + n} = \sqrt{n^2(1 + \frac{1}{n})} = n\sqrt{1 + \frac{1}{n}}<br /> \]<br /> Khi \(n \to \infty\), \(\sqrt{1 + \frac{1}{n}} \to 1\). Do đó, \(\sqrt{n^2 + n} \approx n\).<br /><br />2. Xét phần \(3\sqrt{n^2 + 1}\):<br /> \[<br /> 3\sqrt{n^2 + 1} = 3\sqrt{n^2(1 + \frac{1}{n^2})} = 3n\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}<br /> \]<br /> Khi \(n \to \infty\), \(\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} \to 1\). Do đó, \(3\sqrt{n^2 + 1} \approx 3n\).<br /><br />3. Tổng hợp lại:<br /> \[<br /> \sqrt{n^2 + n} + 3\sqrt{n^2 + 1} \approx n + 3n = 4n<br /> \]<br /><br />4. Tính giới hạn của tử số:<br /> \[<br /> \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + n} + 3\sqrt{n^2 + 1}) = \lim_{n \to \infty} 4n = \infty<br /> \]<br /><br />5. Tính giới hạn của mẫu số:<br /> \[<br /> \lim_{n \to \infty} (n + 1) = \infty<br /> \]<br /><br />Do tử số và mẫu số đều tiến tới vô cùng, biểu thức không có giới hạn hữu hạn. Tuy nhiên, nếu ta xem xét dạng không xác định \(\frac{\infty}{\infty}\), ta có thể áp dụng quy tắc l'Hôpital hoặc phân tích hơn để xác định giới hạn.<br /><br />Nhưng trong trường hợp này, ta chỉ cần biết rằng giới hạn của biểu thức này không phải là một số hữu hạn. Vì vậy, câu hỏi về \(2a + 3\) không áp dụng được ở đây.<br /><br />Vậy, kết quả của biểu thức là \(\infty\), và không thể xác định \(2a + 3\) dựa trên kết quả này.