Bài 20. Cho các biểu thức P=(1-sqrt (x))/(1+sqrt (x)) và Q=(1)/(sqrt (x)+1) với xgeqslant 0;xneq 4 a) Tính giá trị của biểu thức P khi x=9 b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q-Pleqslant (3)/(5)

**a) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9:**<br /><br />Khi x = 9, ta thay x = 9 vào biểu thức P:<br /><br />P = (1 - √x) / (1 + √x) = (1 - √9) / (1 + √9) = (1 - 3) / (1 + 3) = -2 / 4 = -1/2<br /><br />Vậy giá trị của biểu thức P khi x = 9 là -1/2.<br /><br /><br />**b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q - P ≤ 3/5:**<br /><br />Ta có:<br /><br />Q - P = 1/(√x + 1) - (1 - √x) / (1 + √x)<br /><br />Để tính Q - P, ta cần tìm mẫu số chung:<br /><br />Q - P = [1 - (1 - √x)(1 - √x)] / (1 + √x) = [1 - (1 - 2√x + x)] / (1 + √x) = (2√x - x) / (1 + √x)<br /><br />Bất phương trình cần giải là:<br /><br />(2√x - x) / (1 + √x) ≤ 3/5<br /><br />Nhân cả hai vế với 5(1 + √x) (vì 1 + √x luôn dương nên dấu bất phương trình không đổi):<br /><br />5(2√x - x) ≤ 3(1 + √x)<br /><br />10√x - 5x ≤ 3 + 3√x<br /><br />7√x - 5x ≤ 3<br /><br />5x - 7√x + 3 ≥ 0<br /><br />Đây là một bất phương trình bậc hai với ẩn là √x. Ta có thể giải bằng cách đặt t = √x (t ≥ 0):<br /><br />5t² - 7t + 3 ≥ 0<br /><br />Ta tìm delta của phương trình bậc hai 5t² - 7t + 3 = 0:<br /><br />Δ = (-7)² - 4 * 5 * 3 = 49 - 60 = -11 < 0<br /><br />Vì delta âm và hệ số a (5) dương, parabol luôn nằm phía trên trục hoành. Do đó, bất phương trình 5t² - 7t + 3 ≥ 0 luôn đúng với mọi t.<br /><br />Vì t = √x ≥ 0, bất phương trình luôn đúng với mọi x ≥ 0 (và x ≠ 4).<br /><br />**Kết luận:** Bất phương trình Q - P ≤ 3/5 đúng với mọi giá trị nguyên của x ≥ 0, ngoại trừ x = 4.<br />