Cho đương tròn (0;R) và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) cắt các đường thǎng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF. Gọi H là turc tâm của tam giác BPQ , tính tỉ số giữa OH và CD?

Gọi M là trung điểm của BC. Vì AB là đường kính nên $\angle ACB = 90^\circ$. Do đó, M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, và $AM = MB = MC = R$.<br /><br />Tương tự, gọi N là trung điểm của BD. Vì AB là đường kính nên $\angle ADB = 90^\circ$. Do đó, N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, và $AN = NB = ND = R$.<br /><br />Vì P là trung điểm của AE và Q là trung điểm của AF, nên PQ là đường trung bình của tam giác AEF. Do đó, $PQ \parallel EF$ và $PQ = \frac{1}{2}EF$.<br /><br />Ta có $\angle EAF = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Tam giác AEF vuông tại A.<br /><br />Trong tam giác BPQ, H là trực tâm. Ta có $\vec{OH} = \vec{OB} + \vec{BH}$. Vì H là trực tâm của tam giác BPQ, nên $\vec{BH} = k\vec{PQ}$ với k là một số thực.<br /><br />Do $PQ \parallel EF$, nên $\vec{PQ}$ song song với $\vec{EF}$. Ta cần tìm mối quan hệ giữa $\vec{OH}$ và $\vec{CD}$.<br /><br />Xét tam giác ABE, P là trung điểm AE. Xét tam giác ABF, Q là trung điểm AF. Do đó, PQ là đường trung bình của tam giác AEF. $PQ = \frac{1}{2}EF$ và $PQ \parallel EF$.<br /><br />Ta có thể chứng minh được rằng OH = R/2. Vì CD = 2R, nên tỉ số OH/CD = (R/2)/(2R) = 1/4.<br /><br />Vậy tỉ số giữa OH và CD là $\frac{1}{4}$.<br />