Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có SAB=ABC=BCS=90^circ ,AB=2,AC=4 và góc giữa đường thǎng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 45^circ Gọi M là trung điểm đoạn thẳng BC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC là (asqrt (b))/(c) với a,b,c là các số nguyên, b,c là số nguyên tố. Tính tổng T=a+b+c

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC.<br /><br />Đầu tiên, chúng ta tính được các thông số của hình chóp:<br />- $SAB=ABC=BCS=90^{\circ }$<br />- $AB=2$<br />- $AC=4$<br />- Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^{\circ }$<br /><br />Từ đó, chúng ta có thể tính được:<br />- Chiều cao của hình chóp: $h = AB \cdot \tan 45^{\circ } = 2\sqrt{2}$<br />- Diện tích mặt bên SAB: $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = 2\sqrt{2}$<br />- Diện tích mặt bên SAC: $S_{SAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = 4\sqrt{2}$<br /><br />Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC là:<br />$d = \frac{S_{SAB} \cdot S_{SAC}}{2 \cdot BC} = \frac{2\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$<br /><br />Vì khoảng cách này được cho dưới dạng $\frac {a\sqrt {b}}{c}$ với a, b, c là các số nguyên, b, c là số nguyên tố, nên:<br />- $a = 4$<br />- $b = 2$<br />- $c = 1$<br /><br />Vậy tổng $T = a + b + c = 4 + 2 + 1 = 7$.