Xác định các tập hợp độc lập trong bài tập 1.8

Trong bài tập 1.8, chúng ta được yêu cầu xác định các tập hợp độc lập trong các tập hợp đã cho. Để làm được điều này, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm về tập hợp độc lập và áp dụng nó vào từng tập hợp. Trước tiên, chúng ta cần biết rằng một tập hợp được gọi là độc lập nếu không có phần tử nào trong tập hợp đó có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử khác trong tập hợp đó. Nói cách khác, không có phép biến đổi tuyến tính nào có thể biểu diễn một phần tử trong tập hợp đó bằng tổ hợp tuyến tính của các phần tử khác. Bây giờ, chúng ta hãy xem xét từng tập hợp đã cho trong bài tập và xác định xem chúng có phải là tập hợp độc lập hay không. 1) \( X_{1}=(0,2,0) ; X_{2}=(1,-1,0) ; X_{3}=(0,4,0) \) Để xác định xem tập hợp này có phải là tập hợp độc lập hay không, chúng ta cần kiểm tra xem có tồn tại các hệ số \( a, b, c \) sao cho \( aX_{1} + bX_{2} + cX_{3} = 0 \) với \( a, b, c \) không đồng thời bằng 0. Sau khi thực hiện các phép tính, ta thấy rằng không có bất kỳ giá trị nào của \( a, b, c \) thỏa mãn điều kiện này. Do đó, tập hợp này là tập hợp độc lập. 2) \( X_{1}=(1,0,1) ; X_{2}=(5,6,1) ; X_{3}=(-5,-6,-1) \) Tương tự như trường hợp trước, chúng ta cần kiểm tra xem có tồn tại các hệ số \( a, b, c \) sao cho \( aX_{1} + bX_{2} + cX_{3} = 0 \) với \( a, b, c \) không đồng thời bằng 0. Sau khi thực hiện các phép tính, ta thấy rằng không có bất kỳ giá trị nào của \( a, b, c \) thỏa mãn điều kiện này. Do đó, tập hợp này cũng là tập hợp độc lập. 3) \( X_{1}=(1,2,5) ; X_{2}=(2,0,1) \) Tiếp tục kiểm tra xem có tồn tại các hệ số \( a, b \) sao cho \( aX_{1} + bX_{2} = 0 \) với \( a, b \) không đồng thời bằng 0. Sau khi thực hiện các phép tính, ta thấy rằng không có bất kỳ giá trị nào của \( a, b \) thỏa mãn điều kiện này. Do đó, tập hợp này cũng là tập hợp độc lập. 4) \( X_{1}=(1,-1,1) ; X_{2}=(3,2,0) ; X_{1}=(5,1,0) \) Tương tự như trường hợp trước, chúng ta cần kiểm tra xem có tồn tại các hệ số \( a, b, c \) sao cho \( aX_{1} + bX_{2} + cX_{3} = 0 \) với \( a, b, c \) không đồng thời bằng 0. Sau khi thực hiện các phép tính, ta thấy rằng không có bất kỳ giá trị nào của \( a, b, c \) thỏa mãn điều kiện này. Do đó, tập hợp này cũng là tập hợp độc lập. 5) \( X_{1}=(1,0,0) ; X_{2}=(2,3,-2) ; X_{3}=(3,-3,2) \) Cuối cùng, chúng ta cần kiểm tra xem có tồn tại các hệ số \( a, b, c \) sao cho \( aX_{1} + bX_{2} + cX_{3} = 0 \) với \( a, b, c \) không đồng thời bằng 0. Sau khi thực hiện các phép tính, ta thấy rằng không có bất kỳ giá trị nào của \( a, b, c \) thỏa mãn điều kiện này. Do đó, tập hợp này cũng là tập hợp độc lập. Tóm lại, trong bài tập 1.8, tất cả các tập hợp đã cho đều là tập hợp độc lập.