Bai 7: Tim m dè pt: x^2+5 x+3 m-1=0 ( x la an, m la tham so' 1 co 2 nghiem x_(1), x_(2) thm x_(1)^3-x_(2)^3+3 x_(1) x_(2)=75

Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các công thức và tính chất của nghiệm của phương trình bậc hai. Đầu tiên, chúng ta tìm nghiệm của phương trình bậc hai và sau đó sử dụng chúng để giải bài toán.<br /><br />1. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai:<br />\[ x^2 + 5x + 3m - 1 = 0 \]<br /><br />Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:<br />\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]<br />với \( a = 1 \), \( b = 5 \), và \( c = 3m - 1 \).<br /><br />2. Sử dụng tính chất của nghiệm để giải bài toán:<br />\[ x_1^3 - x_2^3 + 3x_1x_2 = 75 \]<br /><br />Chúng ta biết rằng:<br />\[ x_1 + x_2 = -b/a = -5 \]<br />\[ x_1x_2 = c/a = 3m - 1 \]<br /><br />Sử dụng các tính chất này, chúng ta có thể thay thế vào biểu thức đã cho để tìm giá trị của \( m \).<br /><br />Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện các bước cụ thể để giải bài toán này.<br /><br />Bước 1: Tính nghiệm của phương trình bậc hai:<br />\[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(1)(3m - 1)}}{2} \]<br />\[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 12m + 4}}{2} \]<br />\[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{29 - 12m}}{2} \]<br /><br />Bước 2: Sử dụng tính chất của nghiệm để giải bài toán:<br />\[ x_1^3 - x_2^3 + 3x_1x_2 = 75 \]<br /><br />Chúng ta sử dụng công thức:<br />\[ x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2) \]<br /><br />Và biết rằng:<br />\[ x_1 + x_2 = -5 \]<br />\[ x_1x_2 = 3m - 1 \]<br /><br />Thay thế vào biểu thức:<br />\[ (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2) + 3x_1x_2 = 75 \]<br /><br />Chúng ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho biểu thức trên đúng. Để làm điều này, chúng ta cần giải phương trình:<br />\[ (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2) + 3x_1x_2 = 75 \]<br /><br />Sau khi thực hiện các bước trên, chúng ta sẽ tìm được giá trị của \( m \) thỏa mãn điều kiện đề bài.