a) Giải phương trình: 6sqrt (4x+1)+2sqrt (3-x)=3x+14 b) Cho a,bgeqslant 0,a^2+b^2=4 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M=(ab)/(a+b+2)

a) Để giải phương trình này, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho hai vế của phương trình bằng nhau. Đầu tiên, ta thử loại bỏ các căn bằng cách bình phương cả hai vế của phương trình. Tuy nhiên, do có sự kết hợp giữa các căn và các hạng tử khác, việc này không đơn giản như vậy. Thay vào đó, ta sẽ thử di chuyển tất cả các hạng tử về một vế và thử tìm cách sắp xếp lại phương trình để có thể giải được. <br /><br />Bước đầu tiên là di chuyển tất cả các hạng tử về một vế:<br />\[ 6\sqrt{4x+1} + 2\sqrt{3-x} - 3x - 14 = 0 \]<br /><br />Tiếp theo, ta sẽ thử tìm một cách để sắp xếp lại phương trình này sao cho ta có thể giải được. Một cách tiếp cận là thử đặt \( t = \sqrt{4x+1} \) và \( u = \sqrt{3-x} \), từ đó suy ra \( t^2 = 4x + 1 \) và \( u^2 = 3 - x \). Tuy nhiên, việc này cũng không đơn giản vì ta vẫn chưa giải được phương trình. <br /><br />Một cách khác là thử tìm một giá trị cụ thể cho \( x \) sao cho phương trình đúng. Ta có thể thử các giá trị đơn giản như \( x = 0 \), \( x = 1 \), \( x = -1 \), etc., và kiểm tra xem phương trình có đúng không. <br /><br />Khi thử \( x = 0 \):<br />\[ 6\sqrt{4(0)+1} + 2\sqrt{3-0} = 3(0) + 14 \]<br />\[ 6\sqrt{1} + 2\sqrt{3} = 14 \]<br />\[ 6 + 2\sqrt{3} = 14 \]<br />\[ 2\sqrt{3} = 8 \]<br />\[ \sqrt{3} = 4 \]<br /><br />Điều này không đúng, vì \(\sqrt{3}\) không bằng 4. Vậy \( x = 0 \) không phải là nghiệm. <br /><br />Khi thử \( x = 1 \):<br />\[ 6\sqrt{4(1)+1} + 2\sqrt{3-1} = 3(1) + 14 \]<br />\[ 6\sqrt{5} + 2\sqrt{2} = 3 + 14 \]<br />\[ 6\sqrt{5} + 2\sqrt{2} = 17 \]<br /><br />Điều này cũng không đúng. <br /><br />Vì vậy, ta cần phải tìm một cách khác để giải phương trình này. Có thể cần phải sử dụng các kỹ thuật toán học phức tạp hơn hoặc thậm chí là không thể giải được phương trình này bằng các phương pháp cơ bản. <br /><br />b) Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( M = \frac{ab}{a+b+2} \) với \( a, b \geq 0 \) và \( a^2 + b^2 = 4 \), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm cực đại của hàm số. <br /><br />Đầu tiên, ta viết lại biểu thức \( M \) dưới dạng:<br />\[ M = \frac{ab}{a+b+2} \]<br /><br />Tiếp theo, ta tìm đạo hàm của \( M \) theo \( a \) và \( b \), và giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực đại. <br /><br />Đạo hàm của \( M \) theo \( a \) là:<br />\[ \frac{dM}{da} ={b(a+b+2) - ab}{(a+b+2)^2} \]<br /><br />Đạo hàm của \( M \) theo \( b \) là:<br />\[ \frac{dM}{db} = \frac{a(b+a+2) - ab}{(a+b+2)^2} \]<br /><br />Giải phương trình \(\frac{dM}{da} = 0\) và \(\frac{dM}{db} = 0\) để tìm giá trị của \( a \) và \( b \) sao cho \( M \) đạt giá trị lớn nhất. <br /><br />Từ \( a^2 + b^2 = 4 \), ta có \( b = \sqrt{4 - a^2} \). Thay vào phương trình \(\frac{dM}{da} = 0\), ta có:<br />\[ \frac{\sqrt{4 - a^2}(a + \sqrt{4 - a} + 2) - a\sqrt{4 - a^2}}{(a + \sqrt{4 - a^2} + 2)^2} = 0 \]<br /><br />Giải phương trình này để tìm giá trị của \(