Tính công sinh ra do trương lực F(x,j)=(e^x-7y^2)i+(e^y+7x^2)j tác dọng lên vật làm vât di chuyến một vòng kín dọc theo biên của miên phẳng D giới hạn bởi các dường y=x,y=x^2 theo hướng ngược chiếu kim dong ho. Giải. Áp dụng Định lý Green ta có W=int _(C)Fcdot dR=iint _(D)14x-e^lambda x dA Tiếp tục tính toán ta có W=int _(x_(1))^x_(2)y_(1)(x) (chú ý thứ tự lấy tích phân để viết dúng cận lấy tích phân), trong đó x_(1)= x_(1)= x_(1)=x_(2)(x)=

Để tính công sinh ra do trương F(x,j) = (e^{x} - 7y^{2})i + (e^{y} + 7x^{2})j \) tác động lên vật làm vật di chuyển một vòng kín dọc theo biên cư miền phẳng \( D \) giới hạn bởi các đường \( y = x \), \( y = x^{2} \) theo hướng ngược chiều kim đồng hồ, ta áp dụng Định lý Green.<br /><br />Theo Định lý Green, ta có:<br />\[ W = \int_{C} F \cdot dR = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA \]<br /><br />Trong đó, \( P = e^x - 7y^2 \) và \( Q = e^y + 7x^2 \).<br /><br />Tính đạo hàm riêng:<br />\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (e^y + 7x^2) = 14x \]<br />\[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (e^x - 7y^2) = -14y \]<br /><br />Do đó:<br />\[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 14x - (-14y) = 14x + 14y = 14(x + y) \]<br /><br />Vậy:<br />\[ W = \iint_{D} 14(x + y) \, dA \]<br /><br />Tiếp theo, ta xác định miền tích phân \). Miền \( D \) được giới hạn bởi các đường \( y = x \) và \( y = x^2 \). Ta cần tính tích phân kép trên miền này.<br /><br />Giải phương trình \( y = x \) và \( y = x^2 \) để tìm các điểm giao nhau:<br />\[ x = x^2 \implies x(x - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 1 \]<br /><br />Do đó, miền \( D \) là vùng giữa hai đường này từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \).<br /><br />Chuyển sang tọa độ cực để tính tích phân kép:<br />\[ x = r \cos \theta \]<br />\[ y = r \sin \theta \]<br />\[ dA = r \, dr \, d\theta \]<br /><br />Miền \( D \) trong tọa độ cực được biểu diễn bởi:<br />\[ 0 \leq r \leq 1 \]<br />\[ 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \]<br /><br />Vậy tích phân kép trở thành:<br />\[ W = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} 14(r \cos \theta + r \sin \theta) r \, dr \, d\theta \]<br /><br />Tính tích phân bên trong:<br />\[ \int_{0}^{1} 14(r \cos \theta + r \sin \theta) r \, dr = 14 \int_{0}^{1} r^3 (\cos \theta + \sin \theta) \, dr \]<br />\[ = 14 \left[ \frac{r^4}{4} (\cos \theta + \sin \theta) \right]_{0}^{1} \]<br />\[ = 14 \cdot \frac{1}{4} (\cos \theta + \sin \theta) \]<br />\[ = \frac{7}{2} (\cos \theta + \sin \theta) \]<br /><br />Tính tích phân bên ngoài:<br />\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{7}{2} (\cos \theta + \sin \theta) \, d\theta \]<br />\[ = \frac{7}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos \theta + \sin \theta) \, d\theta \]<br />\[ = \frac{7}{2} \left[ \sin \theta - \cos \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \]<br />\[ = \frac{7}{2} \left( \sin \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{2} - (\sin 0 - \cos 0) \right) \]<br />\[ = \frac{7}{2} (1 - 0 - (0 - 1)) \]<br />\[ = \frac{7}{2} (1 + 1) \]<br />\[ = \frac{7}{2} \cdot 2 \]<br />\[