Câu 1. Biết rằng giới hạn lim _(xarrow 1)(sqrt (x+3)+sqrt (2x+7)-5)/(2x-2) bằng (a)/(b) (với a,bin N^ast và (a)/(b) là phân số tối giản). Tính a+b

Đầu tiên, ta áp dụng quy tắc l'Hopital cho phân số trên, vì khi x tiến tới 1, cả tử số và mẫu số đều tiến tới 0, tạo thành dạng $\frac{0}{0}$. Quy tắc l'Hopital cho phép chúng ta thay thế phân số $\frac{0}{0}$ bằng đạo hàm của tử số chia cho đạo hàm của mẫu số.<br /><br />Đạo hàm của tử số $\sqrt{x+3}+\sqrt{2x+7}-5$ là $\frac{1}{2\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{2x+7}}$, và đạo hàm của mẫu số $2x-2$ là 2.<br /><br />Vậy, theo quy tắc l'Hopital, giới hạn của phân số trên khi x tiến tới 1 bằng giới hạn của $\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{2x+7}}}{2}$ khi x tiến tới 1.<br /><br />Khi x tiến tới 1, phân số trên tiến tới $\frac{1}{2\sqrt{1+3}}+\frac{1}{\sqrt{2*1+7}} = \frac{1}{2*2}+\frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{4}+\frac{1}{3} = \frac{3}{12}+\frac{4}{12} = \frac{7}{12}$.<br /><br />Vậy, $a = 7$ và $b = 12$. Do đó, $a+b = 7+12 = 19$.