Cau . Tính tích phân sau int (sin^3x)/(sinx+cosx)dx

Để tính tích phân \(\int \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} \, dx\), ta có thể sử dụng phương pháp phân rã thành các hàm đơn giản hơn. Đầu tiên, ta thử phân rã biểu thức bên trong:<br /><br />\[<br />\frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x}<br />\]<br /><br />Ta nhận thấy rằng \(\sin^3 x = \sin x \cdot \sin^2 x\) và \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\). Do đó, ta có:<br /><br />\[<br />\sin^3 x = \sin x (1 - \cos^2 x)<br />\]<br /><br />Khi đó, biểu thức trở thành:<br /><br />\[<br />\frac{\sin x (1 - \cos^2 x)}{\sin x + \cos x}<br />\]<br /><br />Tiếp theo, ta thử phân rã phân số này. Để làm điều này, ta nhân tử số và mẫu số cho \(\sin x - \cos x\) (để có thể áp dụng công thức phân rã phân số):<br /><br />\[<br />\frac{\sin x (1 - \cos^2 x)}{\sin x + \cos x} \cdot \frac{\sin x - \cos x}{\sin x - \cos = \frac{\sin x (1 - \cos^2 x) (\sin x - \cos x)}{(\sin x + \cos x)(\sin x - \cos x)}<br />\]<br /><br />Mẫu số trở thành:<br /><br />\[<br />(\sin x + \cos x)(\sin x - \cos x) = \sin^2 x - \cos^2 x = 1 - \cos^2 x<br />\]<br /><br />Vậy biểu thức trở thành:<br /><br />\[<br />\frac{\sin x (1 - \cos^2 x) (\sin x - \cos x)}{1 - \cos^2 x}<br />\]<br /><br />Sau khi rút gọn, ta có:<br /><br />\[<br />\sin x (\sin x - \cos x)<br />\]<br /><br />Bây giờ, ta tích phân hàm này:<br /><br />\[<br />\int \sin x (\sin x - \cos x) \, dx = \int (\sin^2 x - \sin x \cos x) \, dx<br />\]<br /><br />Ta có thể tích phân từng phần:<br /><br />\[<br />\int \sin^2 x \, dx - \int \sin x \cos x \, dx<br />\]<br /><br />Dùng công thức \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\) và \(\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}\), ta có:<br /><br />\[<br />\int \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx - \int \frac{\sin 2x}{2} \, dx<br />\]<br /><br />Tích phân từng phần:<br /><br />\[<br />\frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) \, dx - \frac{1}{2} \int \sin 2x \, dx<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac}{2} \left( x - \frac{\sin 2x}{2} \right) - \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 2x}{2} \right) + C<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\cos 2x}{4} + C<br />\]<br /><br />Vậy, kết quả của tích phân là:<br /><br />\[<br />\boxed{\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\cos 2x}{4} + C}<br />\]